En el capítulo 5 - Límites de las funciones, hay una prueba de que:
si
$|x - x_0| < 1; |x - x_0| < \frac{\epsilon}{2(|y_0| + 1)}; |y - y_0| < \frac{\epsilon}{2(|x_0| + 1)}$
entonces
$|xy = x_0y_0| < \epsilon$
La solución que se ofrece es:
Desde $|x - x_0| < 1 => |x| < 1 |x_0|$
y cuando transformamos $|xy - x_0y_0|$ nos encontramos con que:
$|xy - x_0y_0| \leq |x||y - y_0| + |y_0||x - x_0|$
y de aquí podemos concluir:
$|x||y - y_0| + |y_0||x - x_0| < |x|\frac{\epsilon}{2(|x_0| + 1)} + |y_0|\frac{\epsilon}{2(|y_0| + 1)} < (1 + |x_0|)\frac{\epsilon}{2(|x_0| + 1)} + |y_0|\frac{\epsilon}{2(|y_0| + 1)}$
Y la prueba final, como se indica en el libro( y la que me confunde ) es:
$(1 + |x_0|)\frac{\epsilon}{2(|x_0| + 1)} + |y_0|\frac{\epsilon}{2(|y_0| + 1)} = \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2}$
Es obvio que $(1 + |x_0|)\frac{\epsilon}{2(|x_0| + 1)} = \frac{\epsilon}{2}$ pero qué pasa con el otro:
$|y_0|\frac{\epsilon}{2(|y_0| + 1)} = \frac{\epsilon}{2}$ No estoy seguro de que esto sea cierto. ¿Cómo puede $|y_0|$ sea igual a $(|y_0| + 1)$ ¿Es un error o me he perdido algo?
