¿Qué significa que un residuo sea la constante $z=1/2$ ?

Question

Este es un extracto de la sección 1.6 del libro de Bump Formas automórficas y representaciones . La serie Eisenstein para $\operatorname{SL}(2, \mathbb Z)$ se define por $$E(z,s) = \pi^{-s} \Gamma(s) \frac12 \sum_{\substack{m,n \in \mathbb Z \\ (m,n) \ne (0,0)}} \frac{y^s}{|mz+n|^{2s}} $$ donde $z = x+iy$ se encuentra en el plano medio superior. Esto es absolutamente convergente si la parte real de $s$ es al menos $1$ .

El teorema 1.6.1 comienza entonces diciendo

$E(z,s)$ , definida originalmente para $\operatorname{re} (s) > 1$ tiene una continuación meromórfica hacia todo $s$ es analítica, excepto en $s=$ y $s=0$ donde tiene polos simples. El residuo en $s=1$ es la función constante $z = 1/2$ . ...

No entiendo qué significa la última frase citada; me parece que tiene un "error de tipo", por así decirlo. ¿Qué significa que el residuo sea " $z = 1/2$ "? Me pregunto si esto debería decir algo como $z \mapsto \frac12$ en su lugar, o me estoy perdiendo algo?

Answer 1

No es "la función constante $z = 1/2$ ". Debería ser "la función constante $1/2$ ".

La función $E(z, s)$ es una función de dos variables. Para cualquier $z$ es una función meromorfa en $s$ y su residuo en $s = 1$ es $1/2$ independientemente de $z$ .

En otras palabras, la función $z \mapsto \operatorname{Res}_{s = 1}E(z, s)$ es la función constante $1/2$ .

Creo que la prueba debería dejar esto claro.