distancia entre 2 líneas en 3d

Question

Calcula la distancia entre las líneas $$L_1:x=4+2t,y=3+2t,z=3+6t$$ $$L_2: x=-2+3s ,y=3+4s ,z=5+9s$$

Intenté la sustracción $L_1$ de $L_2$ y luego multiplicar el vector de reposo por el $t$ y $s$ y tratando de encontrar un valor para $t$ a o $s,$ pero encontré $t=\frac{19}{12} s$ y no sé cómo seguir resolviendo esto.

Answer 1

La distancia entre las líneas

$L_1:x=4+2t,y=3+2t,z=3+6t$ y $L_2: x=-2+3s ,y=3+4s ,z=5+9s$ es

$d=2 \sqrt{10}$

En efecto, consideremos la función que da la distancia entre un punto genérico de la primera línea y un punto genérico de la segunda línea

$f(t,s)=\sqrt{(2 t-4 s)^2+(-3 s+2 t+6)^2+(-9 s+6 t-2)^2}$

y poner a cero las derivadas parciales $\partial f_t=0,\partial f_s=0$

$\left\{ \begin{array}{l} 4 (2 t-4 s)+4 (-3 s+2 t+6)+12 (-9 s+6 t-2)=0 \\ -8 (2 t-4 s)-6 (-3 s+2 t+6)+18 (-9 s+6 t-2)=0 \\ \end{array} \right. $

$\left\{ \begin{array}{l} 17 s-11 t=0 \\ 53 s-34 t=0 \\ \end{array} \right.$

que tiene una solución

$t= 0,\;s=0$

tenemos

$f(0,0)=2 \sqrt{10}$

Espero que sea de ayuda

Answer 2

Una solución general es :
tomar un punto en $l_1 :A=(4+2t,3+2t,3+6t)$
tomar un punto en $L_2: B=(-2+3s ,3+4s ,9s)$

encontrar el vector $\overline{AB}=B-A=\\(-2+3s ,3+4s ,9s)-(4+2t,3+2t,3+6t)$

entonces resuelve el sistema de ecuaciones $$\begin{cases}\overline{AB}.V_{l_1}=0\\\overline{AB}.V_{l_2}=0\end{cases}\\ \begin{cases}\overline{AB}.(2,2,6)=0\\\overline{AB}.(3,4,9)=0\end{cases}$$ Tendrás dos incógnitas y dos ecuaciones lineales, aquí. $|\overline{AB}|$ es la distancia mínima entre dos líneas.

Answer 3

$ \hat a = 4\hat i + 3\hat j+3\hat k$

$ \hat b = -2\hat i + 3\hat j+5\hat k$

$\hat t =2\hat i + 2\hat j+6\hat k$

$\hat s = 3\hat i + 4\hat j+9\hat k$

$L1: \hat a+t\hat t$

$L2: \hat b+s\hat s$

Así que la distancia $$d = \dfrac{\left|(\hat a - \hat b).(\hat t \times \hat s)\right|}{|\hat t \times \hat s|}$$

$\hat t \times \hat s = -6\hat i + 2\hat k$

$ \hat a - \hat b = 6\hat i - 2\hat k$

$\left|(\hat a - \hat b).(\hat t \times \hat s)\right| = 40$

$|\hat t \times \hat s| = \sqrt{40}$

Así, la distancia $= \frac{40}{\sqrt{40}}$

$d = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$