Dejemos que $a$ sea un elemento de un grupo $G$ . ¿Qué es un generador para el subgrupo $H = G_1 \cap G_2$ donde $G_1, G_2$ son los grupos generados por $a^m, a^n$ respectivamente.
Por favor, ¿puede alguien comprobar mi prueba que he publicado a continuación?
De hecho, ¡ya había resuelto la pregunta! Me preguntaba si alguien podría escribir una prueba totalmente rigurosa para poder comprobar si la mía funciona. Básicamente, el problema es fácil si el orden de $a$ es infinito, pero en el caso de que el orden de $a$ es finito, hay que tener un poco más de cuidado.
De todos modos, así es como lo hice:
Demostraremos que $a^{lcm(m,n)} = H$ .
En primer lugar, hay que tener en cuenta que $a^{lcm(m,n)} \in G_1, G_2$ así que $a^{lcm(m,n)} \subseteq H$ .
Supongamos ahora que $a^k \in H$ . Si $a$ tiene un orden infinito, $m|k$ y $n|k$ , lo que implica que $lcm(m,n)|k$ Así que $a^k \in a^{lcm(m,n)}$ . Si $a$ tiene un orden finito, digamos $r$ entonces existe un número entero $x$ tal que $r|k-mx$ como $a^k \in G_1$ . Así, $gcd(m,r) | k$ . Del mismo modo, $gcd(n,r) | k$ . Así que $lcm(gcd(m,r), gcd(n,r))|k$ . No es difícil demostrar que esta gran expresión lcm es igual a $gcd(lcm(m,n), r)$ Así que $gcd(lcm(m,n), r) | k$ . Ahora dejemos que $lcm(m,n)=dp, r=dq$ para coprime $p,q$ . Entonces $d|k$ así que escribe $k=de$ para un número entero $e$ .
Nos gustaría encontrar un número entero $s$ tal que $r|k-slcm(m,n)$ pero esto equivale a $dq|de-sdp$ si $q|e-sp$ y tal $s$ se puede encontrar como $p,q$ ¡son coprimos!
Por lo tanto, $a^k \in a^{lcm(m,n)}$ y hemos terminado.
Por favor, dígame si esta prueba es correcta o no, y si he complicado las cosas.
