Dejemos que $m,n,b \in \mathbb{N} $ con $b > 1$ y $m \neq n$ .

Question

Dejemos que $m,n,b \in \mathbb{N} $ con $b > 1$ y $m \neq n$ .
Si $b^{m}-1 $ y $b^{n}-1 $ tienen los mismos divisores primos, demuestre que $b+1$ es una potencia de 2.

Sé que $b^{m}-1 = (b-1)(b^{m-1}+b^{m-2}+\cdots+ 1 )$ y lo mismo para $b^{n}-1$

O tal vez, debería considerar $b^{m}-1 -b^{n}+1 = b^{m} - b^{n}$ .

Realmente no tengo ni idea de cómo abordar este problema.

Answer 1

Tenga en cuenta que esta solución se debe a Kamil Duszenko.

Consideremos primero el caso $n = 1$ . Así que supongamos primero que $a - 1$ y $a^m - 1$ tienen los mismos divisores primos. Si un primo p divide a m, entonces $a - 1$ divide $a^p - 1$ y $a^p - 1$ divide $a^m - 1$ por lo que a - 1 y $a^p - 1$ tienen los mismos divisores primos. Pero $a^p - 1 = (a - 1) L$ , donde $L = a^{p-1} + a^{p-2 }+ ... + a + 1$ . Así que si un primo q divide a L, entonces debe dividir a $a^p - 1$ y por lo tanto $a - 1$ . Pero $L = (a - 1) (a^{p-2} + 2 a^{p-3} + ... + p-1) + p$ por lo que cualquier primo q que divida a L y $a - 1$ también debe dividir a p. Así que L debe ser una potencia de p, m debe ser una potencia de p, y p debe dividir a $a - 1$ . En otras palabras, $a = 1 \, mod \, p$ . Por lo tanto, $(a^{p-2}+ 2 a^{p-3 }+ ... + p-1) = 1 + 2 + ... + p-1 = p(p-1)/2 \, mod \, p$ . Pero si $p > 2 \, , p(p-1)/2 = 0 \, mod \, p$ Así que $L = p^2 + p \, mod \, p^2$ . Pero L es una potencia de p, por lo que $L = p$ . Contradicción, ya que L es obviamente > p (o p > 2). Por lo tanto p debe ser 2. Por tanto, $L = a + 1$ y $ a + 1$ es una potencia de 2.

Ahora tomemos el caso general. Supongamos que d es el máximo común divisor de m y n. Pongamos $m = dM \, , n = dN$ y $ a = b^d$ para que $a^M - 1$ y $a^N - 1$ tienen los mismos divisores primos, y M, N son relativamente primos. Tomemos enteros positivos h, k tales que $hM - kN = 1$ entonces $(a^{hM}- 1) - (a^{kN} - 1) = a^{hM} - a^{kN} = a^{kN}(a - 1)$ . Por lo tanto, si s > 1 divide $a^M - 1$ y $a^N - $ 1, entonces también divide $a^{hM} - 1$ y $a^{kN} - 1$ y por lo tanto también $a^{kN}(a - 1)$ . No puede dividir $a^{kN}$ por lo que debe dividir $a - 1$ . Por tanto, el máximo común divisor de $a^M - 1$ y $a^N - 1$ debe dividir $a - 1$ . Pero $a - 1$ divide a ambos, por lo que el máximo común divisor es $a - 1$ . Así que $a- 1$ también debe tener los mismos divisores primos que $a^M - 1$ . Del caso especial se deduce que $a + 1 = b^d + 1$ es una potencia de 2. Como $b > 1, b^d + 1 > 2$ Así que $ b^d + 1$ es ciertamente divisible por 4. Si d es par, entonces $odd^d = 1 \, mod \, 4$ y $even^d = 0 \, mod \, 4$ Así que $b^d + 1 = 2 $ o $1 \, mod \, 4$ . Por lo tanto d debe ser impar. Por lo tanto, $b + 1$ divide $b^d + 1$ Así que $b + 1$ también es una potencia de 2.