Demostrar que un cono compacto no es difeomorfo a la 2-esfera

Question

En el libro de Tapp "Matrix Groups for Undergraduates" afirma brevemente (p.103) que un cono compacto (sólo muestra una imagen de un colector con un ''punto de cono'') no es difeomorfo a una 2-esfera. Me encantaría que alguien me diera una prueba sencilla, usando sólo métodos elementales de análisis/topología, de por qué esto es cierto. Para estar de acuerdo:

Dejemos que $C = \left\{x \in \mathbb{R}^3 \mid 0 \leq z = \sqrt{x^2 + y^2} \leq 1\right\}$ sea el cono compacto. Sea $f : C \to S^2 \subset \mathbb{R}^3$ sea un homeomorfismo. Demostrar que $f$ no es un difeomorfismo demostrando que $f$ no es suave en el origen; es decir, no existe una extensión local suave de $f$ sobre el origen.

Answer 1

no existe una extensión local suave de $f$ sobre el origen.

Debería añadirse: "con derivada invertible" (es decir, con jacobiano no evanescente). Es posible mapear una vecindad 3D del punto del cono homeomórficamente en una vecindad 3D de un punto de la esfera, con la superficie del cono yendo a la superficie de la esfera, y el mapa diferenciable en todas partes, con derivada cero en el punto del cono.

Suponiendo una derivada no nula, la prueba puede ser así: suponer $f$ es un mapa de vecindades en 3D. La función $|f|^2=f_1^2+f_2^2+f_3^2$ es suave, tiene gradiente no nulo (¿por qué?) y es constante en la superficie del cono. Sea $v$ sea el vértice del cono. La derivada direccional de $f$ en $v$ en la dirección de cualquier vector tangente al cono es cero. Por lo tanto, todos esos vectores son ortogonales a $\nabla f(v)$ . Pero esto es imposible (¿por qué?).