PMF de $aX_1 + bX_2$ (Bernoulli)

Question

Dejemos que $Y_1 = aX_1 \sim \text{Bernoulli}(p)$ y $Y_2 = bX_2 \sim \text{Bernoulli}(p)$ ¿Cuál es el PMF de $Z = Y_1 + Y_2$ para $a > 0$ , $b > 0$ y $a \neq b$ ?

¿Puede alguien comprobar mi resultado?

$$p_{Y_1}(x) = \begin{cases}p & \text{if } x = a\\1 - p & \text{if } x = 0\end{cases}$$

$$p_{Y_2}(x) = \begin{cases}p & \text{if } x = b\\1 - p & \text{if } x = 0\end{cases}$$

Entonces la convolución es

$$p_Z(z) = \sum_{k=-\infty }^{\infty} p_{Y_1}(k) p_{Y_2}(z-k)$$

Caso 1: $z = 0$ , $k = 0$

$$p_Z(0) = p_{Y_1}(0)p_{Y_2}(0) = (1-p)^2$$

Caso 2: $z = a$ , $k = 0$ o $z = a$ , $k = a$

$$p_Z(a) = p_{Y_1}(0)p_{Y_2}(a) + p_{Y_1}(a)p_{Y_2}(0) = (1-p)\cdot 0 + p(1-p)$$

Caso 3: $z = b$ , $k = 0$ o $z = b$ , $k = b$

$$p_Z(a) = p_{Y_1}(0)p_{Y_2}(b) + p_{Y_1}(b)p_{Y_2}(0) = (1-p)\cdot p + 0(1-p)$$

Caso 4: $z = a+b$ , $k = a$ o $z = a+b$ , $k = b$

$$p_Z(a) = p_{Y_1}(a)p_{Y_2}(b) + p_{Y_1}(b)p_{Y_2}(a) = p^2$$

Entonces el PMF es

$$p_{Z}(z) = \begin{cases}(1-p)^2 & \text{if } z = 0\\p(1-p) & \text{if } z = a\\p(1-p) & \text{if } z = b\\p^2 & \text{if } z = a+b\end{cases}$$

Compruebo mi resultado comparándolo con el valor esperado

$$E[Z] = aE[X_1] + bE[X_2] = (a + b)p$$

\begin{align*}E[Z] &= \sum_{x} p_Z(x)x\\ &= p(1-p)a + p(1-p)b + p^2(a+b)\\ &= p(a+b)\\ &= (a+b)p \end{align*}

Answer 1

A continuación, responderé a mi propia pregunta. El PMF es correcto, porque:

• todas las probabilidades suman 1
• $E[Z]$ da el resultado que esperaba
• He generalizado el PMF a $n$ variables aleatorias con una transformación no lineal y el valor esperado sigue siendo correcto (lo he comprobado muestreando 1 millón de veces)