Demuestre que para cualquier número entero $n>1$ existe un conjunto de $n$ enteros positivos tales que, para dos números cualesquiera entre ellos , $a-b$ divide $a+b$

Question

Demuestre que para cualquier número entero $n>1$ existe un conjunto de $n$ enteros positivos tales que, para dos números cualesquiera entre ellos (digamos $a$ y $b$ ), $a-b$ divide $a+b$

He ideado tres estrategias para abordar este problema:

(i) Intenta construir un conjunto que satisfaga las condiciones

(ii) Inducción

(iii) Intenta demostrarlo por contradicción. (Que es, creo que muy difícil de hacer)

He probado con ejemplos más pequeños con la esperanza de encontrar un patrón. He probado con la aritmética, las series geométricas, pero no he tenido suerte. Es muy difícil incluso llegar a un ejemplo para $n=5$ . Podemos hacer algunas observaciones simples como $(n,n+1)$ y $(n,n+2)$ siempre funcionan. Pero lo que ocurre con este problema, que lo hace difícil, es que la regla debe ser seguida por cada dos números del conjunto.

La inducción definitivamente falla, arregla cualquier número $a$ , entonces la condición $a-x|a+x$ también puede escribirse como $a-x|2a$ . Lo que significa que sólo hay un número finito de valores de $x$ que satisface la condición. Por lo tanto, no podemos confiar en la inducción

No estoy seguro de cómo podemos utilizar (ii) ? ¿O hay algún otro método?

Answer 1

Es demasiado pronto para decir que la inducción fracasa sólo porque no funciona lo más sencillo de intentar: añadir un nuevo elemento a un conjunto existente.

Lo siguiente que hay que intentar es: dado un $n$ -conjunto de elementos $S$ para el que se cumple esta propiedad, podemos convertirlo en un $n$ -¿conjunto de elementos para los que será más fácil añadir un nuevo elemento?

He pensado en dos cosas que podemos hacer para cambiar $S$ :

• Podemos multiplicar cada elemento de $S$ por un factor fijo $k$ . Esto no rompe la divisibilidad, pero tampoco parece súper útil.
• Podemos añadir $k$ a cada elemento de $S$ siempre y cuando $a-b \mid 2k$ para cada par $a,b \in S$ . Hay infinidad de ellos $k$ por ejemplo, el LCM de las diferencias entre pares.

Bien, ahora si podemos cambiar $S$ sobre, ¿hay algún elemento conveniente que podamos intentar añadir a $S$ ?

Añadir el elemento $0$ siempre funciona: la condición de divisibilidad es que $a - 0 \mid a+0$ . Por supuesto, $0$ no es un entero positivo, pero podemos desplazar los elementos para que todo sea positivo.

Así que ahora tenemos un método para aumentar el tamaño de cualquier conjunto $S$ con esta propiedad por $1$ :

1. Dejemos que $S' = S \cup \{0\}$ .
2. Dejemos que $k$ sea el LCM de todas las diferencias por pares en $S'$ y que $S'' = S'+k$ .

El resultado $S''$ después del segundo paso es el conjunto más grande que queríamos.

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En principio, una vez que tenemos una prueba inductiva, podemos tratar de entender la construcción que da, y simplificarla a un argumento directo. Pero en este caso, partiendo de la $2$ -conjunto de elementos $\{1,2\}$ No veo un buen patrón para lo que sucede después:

• $\{1,2\}$ se convierte en $\{1,2,3\}$
• $\{1,2,3\}$ se convierte en $\{6,7,8,9\}$
• $\{6,7,8,9\}$ se convierte en $\{504, 510, 511, 512, 513\}$
• $\{504, 510, 511, 512, 513\}$ se convierte en $\{11408463360, 11408463864, 11408463870, 11408463871, 11408463872, 11408463873\}$
• Decidí no continuar.