¿Cuál es la diferencia entre el espacio para muestras y el espacio para eventos?

Question

Estoy un poco confundido sobre la diferencia entre espacio de muestra y espacio de evento. Después de leer alguna información, quiero tomar un ejemplo. Si me equivoco, por favor, corrígeme.

• Espacio muestral: todos los resultados posibles
• Evento: un subconjunto del espacio muestral
• Espacio para eventos: todos los eventos

Por un dado justo:

• Espacio de muestra: ${(1, 2, 3, 4, 5, 6)}$

• Evento: $(1)$ o $(2)$ o $(3)$ o $(4)$ o $(5)$ o $(6)$ o $(1,2)$ o $(1,3)$ o $(1,4)$ o $(1,5)$ o $(1,6)$ o $(2,3)$ o $(2,4)$ o $(2,5)$ o $(2,6)$ o $(3,4)$ o $(3,5)$ o $(3,6)$ o $(4,5)$ o $(4,6)$ o $(5,6)$ o $(1,2,3)$ o $(1,2,4)$ o $(1,2,5)$ o $(1,2,6)$ etc.

• Espacio para eventos: todos los eventos

Aunque el evento es el subconjunto del espacio muestral, y el espacio de eventos es el conjunto de eventos. En realidad, el espacio muestral no es el mismo que el espacio de eventos, ¿verdad?

Answer 1

Todo lo que has dicho es correcto. Si quieres escribir de forma más matemática, puedes considerar un espacio de probabilidad $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$ , donde $\Omega$ es un conjunto, $\mathcal{A}$ es un $\sigma$ -de subconjuntos de $\Omega$ y $\mathbb{P}:\mathcal{A}\to \mathbb{R}$ es una medida con $\mathbb{P}(\Omega)=1$ . Entonces:

• $\Omega$ es el espacio de muestra ;
• subconjuntos de $\Omega$ se llaman eventos ;
• elementos de $\mathcal{A}$ se llaman eventos aleatorios (aquellos eventos que pueden asociarse con una probabilidad).

Si $\Omega$ es contable solemos tomar $\mathcal{A} = \wp(\Omega)$ y llamar a eso espacio para eventos .

Answer 2

Si llamamos al espacio de eventos como el espacio de todos los eventos, entonces en este caso el espacio de eventos será el conjunto de potencias de $\{1,2,3,4,5,6\}$ tal y como has mencionado. El modelo correspondiente asigna una probabilidad igual a $\frac{\#\text{event}}{6}$ a un evento. El espacio de eventos es el conjunto de potencias del espacio muestral $\Omega$ no será igual a $\Omega$ .

En los fundamentos teóricos de la medida de la teoría de la probabilidad, no se suele tomar el conjunto de sucesos como el conjunto de potencias de $\Omega$ por consideraciones de teoría de la medida. En este caso, el espacio de eventos no es el conjunto de potencias, sino un conjunto más pequeño $\sigma$ -de la barra. En este caso, no se puede definir simplemente una probabilidad para cada uno $\omega\in \Omega$ sino que asigna una probabilidad $P(E)$ a cada evento, es decir, un subconjunto medible de $\Omega$ con el álgebra sigma correspondiente. Sin embargo, en el caso de que $\Omega$ es a lo sumo contable, se puede efectivamente tomar la $\sigma$ -algbera para que sea el conjunto de potencias y se arregle con la definición de las probabilidades para los eventos singulares.