¿Qué variable aleatoria debo utilizar para modelar este problema?

Question

Me han planteado la siguiente pregunta, y no estoy seguro de qué tipo de VR utilizar para modelar mejor el problema. Mis pensamientos iniciales eran utilizar Poisson, con $\lambda = 5$ . Entonces, la respuesta a a) es muy fácil de encontrar. Sin embargo, estoy confundido sobre cómo resolver b) y c) utilizando Poisson.

En una pizzería, los clientes eligen una media de cinco ingredientes para sus pizzas. Sin embargo, es evidente que algunos clientes prefieren menos o más ingredientes.

• a) ¿Cuál es la probabilidad de que el restaurante prepare una pizza con más de 5 ingredientes?
• b) ¿Cuál es la probabilidad de que 2 de las siguientes 3 pizzas pedidas tengan más de cinco ingredientes?
• c) ¿Cuál es la probabilidad de que la cuarta pizza que haga el restaurante sea la primera con más de 5 ingredientes?

Answer 1

Ha elegido la variable correcta: si el número de ingredientes de una pizza es $X$ entonces $X \sim Poisson(5)$ es un modelo justo dada la información que tienes.

(a) está pidiendo $Pr(X \geq 5)$ que requiere la distribución acumulativa de Poisson. Dependiendo de las fórmulas de las que disponga, puede resultarle más fácil calcular la probabilidad complementaria $Pr(X \leq 4)$ y observe que las dos probabilidades deben sumar 1.

(b) requiere un proceso de reflexión en dos fases. Una vez resuelto (a), tienes la probabilidad de que una sola pizza tenga al menos 5 ingredientes. Si esa probabilidad es $p$ Entonces, ¿qué tipo de distribución podrías utilizar para modelar la variable aleatoria "número de pizzas de las 3 siguientes que tienen al menos 5 ingredientes"? (Sugerencia: ¿Qué distribución se utiliza si se tiene un número fijo de ensayos, y cada ensayo tiene la misma e independiente probabilidad de éxito?)

(c) está en la misma línea. ¿Conoces una distribución que utilizarías para "en una serie potencialmente interminable de ensayos, cada uno con la misma probabilidad independiente de éxito, el caso de que haya $n$ fracasos antes del primer éxito"? Si no tienes uno de esos, ¿puedes calcular la probabilidad de que las tres primeras pizzas fracasen por tener 5 o más ingredientes, y que la cuarta tenga éxito?