Demuestre que el límite de $e^{e^{-xy}}$ como $ x^2+y^2 \to \infty$ no existe

Question

El problema consiste en demostrar que $\lim\limits_{x^2+y^2 \to \infty}e^{e^{-xy}}$ no existe. Mi enfoque inicial fue establecer $x = t, y = 0$ y mostrar que la función converge a diferentes límites cuando dejo $t \to \infty$ en comparación con cuando $t \to -\infty$ . A partir de ahí, he llegado a la conclusión de que la función no tiene límite. Sin embargo, no estoy seguro de si es un enfoque válido para establecer $y=0$ en este caso. ¿Es esta la forma correcta de hacerlo, o debería intentar alguna otra estrategia? He intentado utilizar coordenadas polares, pero eso no me lleva muy lejos.

Gracias,

Answer 1

Tenga en cuenta que

• para $x=y$

$$e^{e^{-xy}}=e^{e^{-x^2}}\to1$$

• para $x=-y$

$$e^{e^{-xy}}=e^{e^{x^2}}\to+\infty$$

por lo que el límite no existe.

Answer 2

Dejemos que $(x,y)=r(\cos \theta,\sin \theta)$ entonces

\begin{align} \exp e^{-xy} &= \exp e^{-r^2\cos \theta \sin \theta} \\ &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{e^{-nr^2\cos \theta \sin \theta}}{n!} \end{align}

Si $\cos \theta \sin \theta<0$ ,

$$\lim_{r\to \infty} \exp e^{-xy} = \infty$$

Si $\cos \theta \sin \theta=0$ ,

$$\lim_{r\to \infty} \exp e^{-xy} = e$$

Si $\cos \theta \sin \theta>0$ ,

$$\lim_{r\to \infty} \exp e^{-xy} = 1$$

El límite requerido es la dependencia de la trayectoria y por lo tanto el límite no existe.