Límite topológico frente a límite geométrico

Question

Dejemos que $M_1=B((0,0),1)=\{(x,y) \mid x^2+y^2<1\}$

$M_2=\{(x,y) \mid x^2+y^2\le1\}$

¿Qué es el interior de $M_1$ y $M_2$ ?

¿Y cuáles son los límites de $M_1$ y $M_2$ ?

¿Cómo los encuentro? Por favor, muéstrame para que pueda entender. Conozco las respuestas pero no las soluciones.

Además, considerando estos ejemplos, ¿cómo podemos decir que los límites topológicos son diferentes de los geométricos?

Por favor, explique esto de forma clara e instructiva. Son ejemplos de mi cuaderno que necesito entender bien.

Gracias por la ayuda.

Answer 1

Interior (topológico) $\operatorname{int} A$ de un subconjunto $A$ de un espacio topológico $X$ es el mayor conjunto abierto contenido en $A$ .

Límite topológico $\partial A$ de un subconjunto $A$ de un espacio topológico $X$ puede definirse de varias formas equivalentes, por ejemplo, como la diferencia $\overline A\setminus \operatorname{int} A$ entre el cierre de $A$ y su interior, o como la intersección $\overline A\cap \overline{A^c}$ de cierre de $A$ y el cierre de su complemento, o más directamente como el conjunto de puntos cuya vecindad interseca $A$ y su complemento.

El límite geométrico es algo más inherente: cuando se tiene un colector $M$ con límite, viene con un atlas asociado de homeomorfismos (mapas) $\varphi_\alpha:U_\alpha \to M$ , donde $U_\alpha$ es un subconjunto abierto de $R^n_+=\{\overline x=(x_1,\ldots,x_n)\in {\bf R}^n\mid x_1\geq 0\}$ que coinciden de alguna manera. Límite $\partial M$ se define entonces como $\bigcup_\alpha \varphi_\alpha[U_\alpha\cap \{\overline x\mid x_1=0\}]$ . $M\setminus \partial M$ puede denominarse el interior (geométrico) de $M$ .

Para el límite topológico y el interior, $M_1$ está abierto y es, de hecho, el interior de $M_2$ (porque cualquier bola que contenga puntos del círculo contiene puntos de fuera de él), y se puede utilizar cualquiera de las dos definiciones para ver que el límite de ambas es el círculo unitario.

Para el límite geométrico y el interior, con la estructura natural del colector $M_1$ no tiene límites (es un subconjunto abierto de ${\bf R}^2$ ), mientras que $M_2$ tiene como límite, de nuevo, el círculo unitario; en consecuencia, el interior geométrico de ambos es $M_1$ .

Answer 2

Dejemos que $X$ sea un espacio topológico. El interior de un conjunto $S\subset X$ , denotado como $S^{\circ},$ es el conjunto de todos los puntos $s\in S$ tal que existe una vecindad abierta de $s$ , digamos que $U$ con $s\in U\subset S$ .

Obsérvese que para cualquier punto de $(x_0,y_0)\in M_1$ tenemos $x_0^2+y_0^2<1$ Por lo tanto, dejar que $\epsilon=1-x_0^2+y_0^2$ y $U=B((x_0,y_0),\epsilon)$ tenemos $(x_0,y_0)\in U\subset M_1$ . Esto demuestra que $M_1=M_1^{\circ}$ como ocurre con cualquier conjunto abierto.

A ver si puedes demostrar que $M_2^{\circ}=M_1$ .

En cuanto a los límites, el límite topológico, $\partial S,$ de un conjunto $S\subset X$ se puede caracterizar de varias maneras. Estas son las dos que me resultan más útiles.

1. $\partial S=\overline{S}\setminus S^{\circ}$ es decir, el límite es el cierre menos el interior.

2. El límite de un conjunto $S$ consiste en todos los puntos de $x\in X$ tal que todas las vecindades de $x$ se cruzan ambos $S$ y $S^c$ .

La primera definición es más técnica, mientras que la segunda es un poco más intuitiva. Supongamos que $(x_0,y_0)$ satisface $x_0^2+y_0^2=1$ . Observe que cualquier bola abierta alrededor de $(x_0,y_0)$ contendrá puntos cuya distancia al origen sea menor que $1$ y los puntos cuya distancia al origen es mayor que $1$ . En otras palabras, cualquier balón abierto alrededor de $(x_0,y_0)$ se cruza con $M_1$ y $M_1^c$ . De ello se desprende que $\partial M_1=\{(x,y)\mid x^2+y^2=1\}$ .

A ver si puedes demostrar que el límite de $M_2$ es el mismo.

A su pregunta sobre el límite topológico frente al geométrico, vea las otras respuestas.

Answer 3

El límite geométrico es el conjunto de puntos en los que hay que utilizar (un subconjunto relativamente abierto del) semiespacio $\mathbb H^2$ para un gráfico en ese punto. Para $M_1$ este es claramente el conjunto vacío ya que cada punto tiene una bola abierta a su alrededor dentro de $M_1$ . Para $M_2$ es el círculo unitario ya que los gráficos de los puntos "en el borde" no pueden utilizar coordenadas procedentes de un $U \subseteq \mathbb R^2$ .