Pregunta sobre el anillo de cocientes de polinomios F[x]/(ax-b)

Question

Dejemos que $F$ sea un campo. Elementos fijos $a \in F^{\times}$ y $b \in F$ . Demostrar que el anillo de cociente $F[X]/(aX b)$ es isomorfo a F.

Así que estoy pensando en utilizar el primer teorema del isomorfismo, y tratar de encontrar algún homomorfismo $\phi: F[x] \rightarrow F$ que haría que el núcleo fuera igual a $Ax - b$ . Entonces esto implicaría que $F$ es isomorfo a $F[X]/(aX b)$ . Pero simplemente no puedo conceptualizar tal homomorfismo.

¿La lógica es errónea? Si no es así, ¿alguna pista sobre qué tipo de homomorfismo $\phi$ ¿sería? Gracias de antemano.

Answer 1

Consideremos el homomorfismo $\phi:F\left[x\right]\to F$ definido por $\phi\left(f\right)=f\left(ba^{-1}\right)$ . Este homomorfismo se denomina "evaluación en $ba^{-1}$ ". No es muy difícil demostrar que se trata de un homomorfismo. Ahora, observa que el núcleo debe ser $\left(aX-b\right)$ ya que si un polinomio tiene $ba^{-1}$ como raíz, entonces debe ser algún múltiplo de $aX-b$ . Ahora demuestre que este mapa $\phi$ es suryente.