Duda sobre la fórmula de reducción.

Question

Si $$I_n = \int{(\frac{1}{a^2+x^2})^{n}}dx$$

Pruébalo: $$I_n = \frac{x}{2a^2(n-1)(a^2+x^2)^{(n-1)}}+\frac{2n-3}{2(n-1)a^2}I_{n-1}$$

He utilizado el Ibp pero no he podido conseguir dicha relación. Por favor, ayúdenme. Además, por favor, no utilice la inducción.

Answer 1

Una pista: Por partes, el ajuste $\,u= \dfrac1{(a^2+x^2)^{n-1}}$ , $\,\mathrm d\mkern1mu v=\mathrm d\mkern1mu x$ De ahí que $$\mathrm d\mkern1mu u=\frac{-2(n-1)x}{(a^2+x^2)^n}\,\mathrm d\mkern1mu x,\enspace v=x $$ Se obtiene entonces $$I_{n-1}=\dfrac x{(a^2+x^2)^{n-1}}+2(n-1)\int\frac{x^2}{(a^2+x^2)^n}\,\mathrm d\mkern1mu x$$ Tenga en cuenta que, al escribir $\,x^2=a^2+x^2 -a^2$ la integral es igual a $\,I_{n-1}-a^2I_n$ .