El algoritmo de división con enteros gaussianos

Question

Quiero demostrar que podemos escribir cualquier entero gaussiano $n$ Únicamente en la forma $q(1+2i)+r$ donde $r$ es un elemento de $S= \{ 0, 1, 2, 3, 4 \}$ . Asumiendo que $n$ siempre puede escribirse de la forma $q(1+2i)+r$ con la especificación $r$ ¿Cómo puedo demostrar que esta representación es única?

Answer 1

Para demostrar la unicidad, basta con demostrar que $q(1+2i)+r=0$ si $q=r=0$ .

Dejemos que $q=a+bi$ . Entonces $q(1+2i)+r=0$ si $a-2b+r=0$ y $2a+b=0$ . Entonces $5a+r=0$ . Desde $0 \le r \le 4$ Debemos tener $r=0$ y así $a=b=0$ .