Demuestre que el número $a_{n}=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...}}}$ es irracional para todo entero positivo n.

Question

Definir $a_{n}=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...}}},\quad n=1,2,...$ donde el radical contiene $n$ dos.

Proporcionar una definición recursiva de $a_n$ y luego demostrar que el número $a_n$ es irracional para todo entero positivo n.

Esto es lo que tengo hasta ahora-

$$a_0=\sqrt{2}, \quad a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}$$

Supongamos que $a_{n+1}$ es racional. Entonces

\begin{align*} a_{n+1}&=\frac{b}{c} \quad grd(b,c)=1\\ (a_{n+1})^2&=\frac{b^2}{c^2}\\ 2+a_n&=\frac{b^2}{c^2}\\ (2+a_n)c^2&=b^2 \quad =>(2+a_n)\big|b^2\\ \end{align*}

¿Es esto correcto hasta ahora? No estoy seguro de cuál es el siguiente paso o si estoy en el camino correcto.

Answer 1

Hay una forma potencialmente más fácil de hacerlo.

Tienes tu fórmula recursiva $a_{n+1}=\sqrt{a_{n}+2}$ como ya se ha definido

Procedamos ahora por inducción en n

Ya sabemos que $\sqrt{2}$ es irracional, por lo que el caso base se mantiene.

Ahora, supongamos que para algunos $n\in\mathbb{N}$ que $a_n$ es irracional.

Supongamos ahora, en aras de la contradicción, que $a_{n+1}$ es racional.

Esto implicaría 2+ $a_n$ es racional, lo que implica en particular que $a_n$ es racional. Esto es una contradicción.

Answer 2

Utilizando la inducción suponemos que $a_n$ es irracional. Supongamos ahora que $a_{n+1}$ es racional. Entonces $a^2_{n+1}=2+a_n$ Por lo tanto $a_n$ es racional, contradictorio.

Answer 3

Creo que se puede hacer una prueba más fácil utilizando la inducción. Ya sabemos que $a_0$ es irracional. Así que supongamos que $a_n$ es irracional. Entonces es fácil demostrar que $a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}$ también es irracional.