Subgrupos diagonalizables en un grupo simplemente conectado

Question

Esta es la continuación de mi pregunta anterior . Dejemos que $G$ sea un grupo reductor conexo sobre un campo algebraicamente cerrado $k$ de característica 0. Suponemos que $\mathrm{Pic}\ G=0$ . Esto es lo mismo que decir que el grupo derivado $G^{\mathrm{der}}$ de $G$ (que es semisimple) es simplemente conectado. En particular, si $G$ es simplemente conectada semimple, entonces $\mathrm{Pic}\ G=0$ .

Dejemos que $D$ sea un subgrupo diagonalizable en $G$ . ¿Es cierto que $D$ está contenido en algún toroide $T\subset G$ ?

La respuesta de Angelo a mi pregunta anterior muestra que esto es no verdadero para $G=\mathrm{PGL}_n$ . Por supuesto, $\mathrm{Pic}\ \mathrm{PGL}_n\neq 0$ .

Answer 1

La respuesta parece ser no, según II, 5.8 (y el material siguiente) en las notas de clase de Springer-Steinberg (Lect. Notes in Math 131, 1970), aunque puede que esté pasando por alto algo en tu pregunta. Por supuesto, a veces este tipo de incrustación es posible, como se señala en esas notas de clase, pero hay problemas con los primos de torsión. Este tipo de pregunta se remonta al trabajo de Borel-Serre sobre grupos de Lie compactos, y hay más detalles en el artículo de Steinberg de 1975 en Avances en matemáticas . En este momento no conozco ninguna mejora significativa de los resultados anotados por Springer-Steinberg.

En cualquier caso, el toro central de un grupo reductor desempeña un papel escaso en la cuestión, por lo que se trata esencialmente de grupos semisimples simplemente conectados.

P.D. Para aclarar la terminología, un prima de torsión es un primo que divide algún coeficiente del mayor corot para un grupo algebraico simple. Así que las posibilidades se limitan a $2,3,5$ (y no hay primos de torsión para los tipos $A, C$ ). Existe una conexión indirecta con los órdenes de los grupos fundamentales en el ámbito topológico. (Además, los resultados de Springer-Steinberg se formulan sobre un campo algebraicamente cerrado de cualquier característica y se adaptan un poco a los grupos que no son simplemente conectados).

Answer 2

He aquí un ejemplo explícito. Sea $G$ sea un grupo de tipo $G_2$ sobre un campo algebraicamente cerrado campo $k$ de característica no 2. Entonces $G$ es simplemente conectado y contiene un subgrupo de rango máximo rango máximo $M$ del tipo " $A_1 \times A_1$ ". Como se observa en [Springer-Steinberg, II.5.5], este subgrupo semisimple es no simplemente conectados. De hecho, $M$ es isomorfo a $\operatorname{SL}_2 \times \operatorname{PGL}_2$ .

Ahora, el subgrupo $M$ es el centralizador de un elemento semisimple de orden finito $t$ de $G$ . Por otra parte, por Angelo El ejemplo de Angelo para $\operatorname{PGL}_n$ existe un subgrupo diagonalizable $D_1 \subset M$ de orden 4 contenida en ningún toro maximal de $M$ .

Entonces el subgrupo diagonalizable $D = \langle D_1,t\rangle$ de $G$ no está contenido en ningún toro maximal de $G$ .

Por si sirve de algo, este ejemplo muestra lo que falló en mi (ahora borrado, y en retrospectiva, tonto) argumento en respuesta a la pregunta anterior . En concreto, el centralizador de un elemento semisimple $t$ en un grupo simplemente conexo es conexo y reductor, pero no tiene por qué ser él mismo simplemente conexo. De hecho, el resultado encontrado en [Springer-Steinberg, 5.3] da condiciones más precisas -- relacionadas con los primos de torsión -- bajo las cuales un grupo como $C_G(t)$ está simplemente conectado.