Homomorfismo de $\hat{\mathbb{Z}}$ a $\mathbb{Z}$

Question

Supongo que esta pregunta tiene una respuesta muy sencilla.

Todos sabemos desde la escuela primaria que no existen continuo homomorfismos de $\hat{\mathbb{Z}}$ a $\mathbb{Z}$ . Y si nos olvidamos de la continuidad: ¿alguien puede dar un ejemplo explícito de un homomorfismo?

Tenga en cuenta que $\hat{\mathbb{Z}}$ es libre de torsión, y no es divisible (ya que es isomorfo a $\prod_p \mathbb{Z}_p$ y $\mathbb{Z}_p$ no es divisible por $p$ ). Existe la inyección canónica $\mathbb{Z} \to \hat{\mathbb{Z}}$ ¿hay alguna razón abstracta por la que deba tener un inverso a la izquierda, y si es así podemos escribirla?

Answer 1

Dejemos que $\phi:\hat{\mathbb{Z}}\to\mathbb{Z}$ sea un homomorfismo no trivial. Como todo subgrupo no trivial de $\mathbb{Z}$ es isomorfo a $\mathbb{Z}$ podemos suponer que $\phi$ es suryente, con el núcleo $K$ decir. Ahora $\phi$ induce un homomorfismo surjetivo $\phi_n:\hat{\mathbb{Z}}/n\hat{\mathbb{Z}}\to\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ pero lo normal es que $\hat{\mathbb{Z}}/n\hat{\mathbb{Z}}$ tiene orden $n$ Así que $\phi_n$ debe ser un isomorfismo. Esto implica que $K\leq n\hat{\mathbb{Z}}$ para todos $n$ pero $\bigcap_n n\hat{\mathbb{Z}}=0$ Así que $\phi$ es inyectiva, lo cual es claramente imposible.

Answer 2

La respuesta es que no existen tales homomorfismos. Véase el siguiente preprint de Nik Nikolov http://arxiv.org/abs/0901.0244 .

Answer 3

Dejemos que $\phi$ sea un homomorfismo de este tipo, sobre grupos aditivos $\hat Z\rightarrow Z$ . Escriba $(\vec x,\vec y)\in\hat Z$ para el elemento que es $x$ en los primos que son 1 mod 3, y $y$ en los primos que son 2 mod 3.

Entonces $\phi(\vec x,\vec 0)=0$ para todos $x\in Z$ , para $(\vec x,\vec 0)$ es $l$ -divisible para cualquier primo $l$ que es 2 mod 3. El argumento simétrico afirma $\phi(\vec 0,\vec y)=0$ también.

Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que una preimagen de $1$ viene dada por $(\vec 1,\vec 1)$ .

A continuación, aplicando la ley de grupos y fijando $\alpha=\phi(\vec 1,\vec{-1})$ derivamos el sistema $$1+\alpha=\phi(\vec 1,\vec 1)+\phi(\vec 1,\vec{-1})=\phi(\vec 2,\vec 0)=0$$ $$1-\alpha=\phi(\vec 1,\vec 1)-\phi(\vec 1,\vec{-1})=\phi(\vec 0,\vec 2)=0$$ Esto es imposible, así que $\phi$ no existe.