Encuentre todos $(x,y)\in\mathbb Z$ s.t. $x^2(x^2+1)=21^y-1$

Question

$Q.$ Encuentre todos $(x,y)\in\mathbb Z^2$ s.t. $$x^2(x^2+1)=21^y-1$$

He intentado simplificarlo, $$x^4+x^2+(1-21^y)=0$$ Es sólo una ecuación cuadrática, así que resolví para $x^2$ $$x^2=\frac{-1\pm\sqrt{1-4(1-21^y)}}{2}$$

como $x^2\in\mathbb Z^+$ , $\Delta=a^2$ donde $a\in\mathbb Z^+$

Así que $$1-4(1-21^y)=a^2\implies\underbrace{4(21^y-1)}_{\mathbb E^+}=(a+1)(a-1)\tag1$$

Lo que significa que $(a+1)\in\mathbb E^+$ o $(a-1)\in\mathbb E^+$ pero esto no importa ya que ambos $(a+1),(a-1)\in\mathbb E^+$ . Esto se debe a que diferencia de dos números pares consecutivos es $2$ .

Así que dejemos $(a-1)=2p$ entonces $(a+1)=2(p+1)$ . Utilizando este valor en $eq^n(1)$ $$4(21^y-1)=4p(p+1)\implies\underbrace{4\cdot21^y-3}_{\Delta}=(2p+1)^2$$

Por lo tanto, $a\in\mathbb O^+$

Ahora $$x^2=\begin{cases}\frac{-1+(2p+1)}{2}=p\\\frac{-1-(2p+1)}{2}=-(p+1)\end{cases}$$

Pero no soy capaz de resolverlo más, cualquier pista será apreciada.

Answer 1

Las únicas soluciones son $(0,0)$ , $(2,1)$ y $(-2,1)$ .

• Es fácil comprobar que estas son las únicas soluciones con $y\in\{0,1\}$ .
• No hay soluciones con $y<0$ ya que el lado izquierdo es un número entero.
• Por último, cuando $y\ge2$ el lado derecho es congruente con $8$ (mod $9$ ); sin embargo, se puede comprobar que el lado izquierdo sólo puede ser congruente con $0$ o $2$ (mod $9$ ).