Discusión del teorema de Poincaré-Bendixson

Question

El teorema de Poincaré-Bendixson establece que sea $\mathbf{F} : \mathbb R^2 \to \mathbb R^2$ ser un $C^1$ campo vectorial en $\mathbb R^2$ y considerar el sistema $\mathbf{x'} = \mathbf{F(x)}$ . Supongamos que $K$ es un conjunto en $\mathbb R^2$ tal que:

$(1)K$ es cerrado y acotado;

$(2)$ el sistema no tiene ningún punto de equilibrio en $K$ y

$(3) K$ contiene una trayectoria de avance del sistema.

Entonces, el sistema tiene una órbita cerrada no trivial en $K$ .

Me pregunto por qué necesita condiciones $(1)$ y $(2)$ . ¿Alguna idea?

Answer 1

Para 1) Claramente $\mathbb{R}^2$ es invariante hacia delante, pero no es necesario que contenga una órbita periódica (piense en $\dot x=1, \dot y=0$ ).

Para 2) considerar el flujo $\dot x=-x, \dot y=-y$ y $K$ una bola alrededor del origen.

Si se pregunta por la cerrazón de $K$ en la condición 1), se puede tomar un flujo como en 2) y considerar una bola menos el origen. Esta es invariante hacia delante, no está cerrada y no tiene una órbita periódica.