Cardinalidad del conjunto $\{(X_1,X_2,\cdots,X_p)\in \mathcal{P}(E)^p \mid X_1\subset\cdots\subset X_p \}$

Question

Si $|E|=n$ es un conjunto, ¿cuál es la cardinalidad del conjunto $$\{(X_1,X_2,\cdots,X_p)\in \mathcal{P}(E)^p \mid X_1\subset\cdots\subset X_p \}$$

Mis pensamientos

La entrega de p-tuplos $X_0=\emptyset\subset X_1\subset X_2\subset\ldots \subset X_p\subset X$ $(p\leq n )$ es devolver $$f:X\to \{0,1,\ldots,p\}\quad \left(f(x)=\max\{i\mid x \not\in X_i\}\right) \mbox{with $ f $ is bijective map}$$ .

Entonces $$|\{(X_1,X_2,\cdots,X_n)\in \mathcal{P}(E)^p \mid X_1\subset\cdots\subset X_p \}|=|\{0,1,\ldots,p\}^E|=|\{0,1,\ldots,p\}|^{|E|}=(p+1)^n$$

• Es mi prueba correcta también podríamos probarlo con esa forma $\sum_{k=0}^{n}\binom {n} {k} (p)^k=(p+1)^n$ ¿tengo razón?

Segunda prueba: Si $|X_p|=k$ Así que hay $C_n^k \times p^k$ formas de conseguir p-tuplas pero |Y|=k puede tomar todos los valores enteros $0$ y $n$ . por lo tanto el número total de formas de lograr la inclusión de p-tuplas es $$\sum_{k=0}^{n}\binom {n} {k} (p)^k=(p+1)^n$$

Answer 1

Suponiendo que se quiera calcular la cardinalidad del conjunto $M = \{(X_1,X_2,\ldots,X_p)\in \mathcal{P}(E)^p \mid X_1\subset\ldots\subset X_p\}$ Su solución es correcta. Sin embargo, su solución está mal redactada. Una versión mejor podría ser la siguiente:

Dejemos que $X_0 = \emptyset$ sea el conjunto vacío y que para cada $p$ -tupla $X = (X_1, \ldots, X_p)$ la función $f_X: E \to \{0, \ldots, p\}$ definirse a través de $x \mapsto \max \{i \mid x \notin X_i\}$ . Esta construcción induce una biyección entre $M$ y $\{0, \ldots, p\}^E$ a través de $M \ni X \mapsto f_X$ y, por lo tanto, se obtiene $|M| = |\{0, \ldots, p\}^E| = (p + 1)^n$ .

Editar: Para formalizar su segunda prueba: Para cada $k \in \{0, \ldots, n\}$ tenemos $\binom{n}{k}$ formas de elegir $X_p$ para que $|X_p| = k$ . De forma similar a la primera prueba, podemos definir una función mediante $f(x) = \min\{i \mid x \in X_i\}$ que da como resultado $p^k$ posibles formas de elegir los conjuntos $X_1, \ldots, X_p$ . El resultado se obtiene sumando todas estas posibilidades y aplicando el teorema del binomio.