Verificación de los valores en el espectro continuo de un operador

Question

Necesito ayuda con el espectro continuo.

Dejemos que $(\lambda_j)$ sea una secuencia de números reales con $\lambda_j \neq 1$ para todos $j$ y $\lambda_j \rightarrow 1$ . Considere $T: \ell^2 \rightarrow \ell^2$ definido para $\xi_j \in \ell^2$ por $$T(\xi_j)=(\lambda_j \xi_j)$$

Preguntas: Encuentra el espectro puntual, el espectro residual y el espectro continuo.

Mis pensamientos...

Creo que el espectro de puntos es el conjunto de los $\lambda_j$ . Desde $$Te_j=\lambda_j e_j$$ para $e_j$ teniendo un 1 en el $jth$ y ceros en el resto.

El operador es acotado y autoadjunto ya que el $\lambda_j$ son reales (omitiré los detalles), por lo que sabemos que el espectro residual está vacío.

Esta es la parte de la que no estoy seguro.

EDIT: Ahora creo que el espectro continuo sólo contiene 1. Lo pienso porque es el único valor al que podemos acercarnos arbitrariamente para $\lambda \neq \lambda_j)$ . Si alguien puede verificar esto sería genial. Gracias.

Como el espectro es cerrado, sabemos que el cierre del conjunto de $\lambda_j \subset $ el espectro.

Podemos demostrar que el conjunto que es el cierre del conjunto de $\lambda_j$ sin el $\lambda_j$ está en el espectro continuo ya que el resolvente sería ilimitado. Creo que es similar a esta pregunta aquí, (ver el último párrafo). Pero no estoy seguro porque no tenemos que el $\lambda_j$ son densos.

Todos los demás valores están en el conjunto de resolventes.

Answer 1

Si $\lambda \notin \{1,\lambda_1,\lambda_2,...\}$ Existe $a>0$ tal que $|\lambda -c|>a$ para todos $c \in \{1,\lambda_1,\lambda_2,...\}$ (Esto se debe a que el conjunto aquí es compacto). Ahora resolvemos la ecuación $Tx-\lambda x=y$ para cualquier $y \in l^{2}$ . Obtendrá una solución única. Esto implica que $T-\lambda I$ es invertible. Por lo tanto, $\sigma (T) \subset \{1,\lambda_1,\lambda_2,...\}$ . Desde $\{\lambda_1,\lambda_2,...\}$ está contenido en el espectro y el espectro es cerrado obtenemos $\sigma (T) = \{1,\lambda_1,\lambda_2,...\}$ .

Answer 2

En general, para cualquier secuencia compleja $(\lambda_n)_n$ los espectros para el operador diagonal $T$ son:

$$\sigma(T) = \overline{\{\lambda_n : n \in \mathbb{N}\}}$$ $$\sigma_p(T) = \{\lambda_n : n \in \mathbb{N}\}$$ $$\sigma_r(T) = \emptyset$$ $$\sigma_c(T) = \overline{\{\lambda_n : n \in \mathbb{N}\}} \setminus \{\lambda_n : n \in \mathbb{N}\}$$

Así que en su caso tenemos $$\sigma(T)= \{\lambda_n : n \in \mathbb{N}\} \cup \{1\}$$ $$\sigma_p(T) = \{\lambda_n : n \in \mathbb{N}\}$$ $$\sigma_r(T) = \emptyset$$ $$\sigma_c(T) = \{1\}$$