Diferencia entre el número de soluciones enteras positivas y las soluciones enteras no negativas

Question

Esta pregunta puede ser bastante sencilla para otros, pero me cuesta entenderla.

Así, por ejemplo, en el libro dice que si quiero contar el número de composiciones para el número " $7$ "(por ejemplo $6+1,3+1+2+1$ etc.),

i) Para un sumando, sólo hay 1 composición, que es $7$ (Entiendo esta parte)

ii) Para dos sumandos (positivos), queremos contar el número de soluciones enteras para $a_1+a_2=7$ , donde $a_1,a_2 > 0$ ( Entiendo esta parte porque quiero contar dos números que sumen $7$ por lo que es $a_1+a_2=7$ .)

Esto es igual al número de soluciones enteras para $x_1+x_2=5$ , donde $x1,x2 \ge 0$ . (No entiendo esta parte. ¿Cómo puede $a_1+a_2=7$ , donde $a1,a2 >0$ , igual a $x_1+x_2=5$ , donde $x1,x2 \ge 0$ ?? Tal vez asumo que la 2ª afirmación excluye $7$ y $0$ por lo que es igual a $5$ ??)

iii) También para tres sumandos, queremos contar el número de soluciones enteras positivas para $y_1+y_2+y_3=7$ (Entiendo esta parte. Quiero contar tres números que sumen $7$ )

Esto es igual al número de soluciones enteras no negativas para $x_1+x_2+x_3=4$ (No entiendo cómo la primera y la segunda afirmación pueden ser iguales y por qué la segunda afirmación suma $4$ en lugar de $7$ )

Se agradecería mucho una explicación sencilla. Gracias.

Answer 1

Tengo $7$ caramelos idénticos. Quiero distribuirlos entre $3$ (distintos) niños para que cada niño reciba al menos un caramelo.

Dejemos que $x_1$ sea el número de caramelos que recibirá Kid1, y que $x_2$ sea el número de caramelos que recibirá Kid2, y que $x_3$ sea el número de caramelos que recibirá Kid3. El número de formas de hacer el trabajo es el número de soluciones de $x_1+x_2+x_3=7$ en positivo enteros (recuerde que cada niño tiene al menos $1$ caramelo).

Ahora pensemos en el problema de otra manera. Dado que cada niño recibirá al menos $1$ caramelos, dar $1$ a cada uno. Hay $4$ caramelos que quedan. Deja que $y_1$ es el número de caramelos extra que recibirá Kid1, y define $y_2$ y $y_3$ de manera similar. Entonces el $y_i$ son todos $\ge 0$ , pero uno o varios pueden ser $0$ . El número de maneras de distribuir el $4$ caramelos extra es el número de soluciones de $y_1+y_2+y_3=4$ en no negativo enteros.

Así, el número de soluciones de $x_1+x_2+x_3$ en enteros positivos es el mismo que el número de soluciones de $y_1+y_2+y_3=4$ en enteros no negativos.

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Como las fórmulas no provocan caries, puede que te gusten más las fórmulas que los caramelos. Supongamos que $x_1+x_2+x_3=7$ donde el $x_i$ son enteros positivos. Sea $y_i=x_i-1$ . Entonces $y_1+y_2+y_3=(x_1-1)+(x_2-1)+(x_3-1)=7-3=4$ . Además, todas las soluciones de $y_1+y_2+y_3=4$ en enteros no negativos se obtienen a partir de una solución única de $x_1+x_2+x_3=7$ en números enteros positivos estableciendo $y_i=x_i-1$ .

Answer 2

Ii) Que $x_{1} + x_{2} = 7$ con $x_{1}, x_{2} \geq 1$ . Así que visualízalo de esta manera. Vamos a por siete rosquillas. Debemos conseguir al menos uno de cada tipo (hay dos tipos). Así que empezamos con uno glaseado y otro glaseado con chocolate. ¿De cuántas maneras podemos conseguir los cinco donuts restantes?

Aplicando esto a la ecuación, contabilizamos el hecho de que nuestros dos primeros donuts son fijos para obtener $x_{1} + x_{2} = 5$ con $x_{1}, x_{2} \geq 0$ .

iii) Aplica el mismo razonamiento que en el dos, pero ahora añade un donut relleno de crema.

Answer 3

En tu párrafo "Esto es igual" no entiendes cómo las soluciones a $x_1+x_2=7$ con $x_1,x_2 \gt 0$ corresponden a las soluciones de $y_1+y_2=5$ con $y_1, y_2 \ge 0$ . Dejemos que $y_1=x_1-1, y_2=x_2-1$ y existe una biyección de soluciones. Del mismo modo, con tres sumandos positivos se resta $1$ de cada uno dando una suma de $7-3=4$ con la restricción de que cada uno sea positivo o cero.