Rompecabezas con los diferenciales de Kahler

Question

Hay un gran error que estoy haciendo que puedo encontrar.

Tomemos un esquema afín $X= Spec A$ alisar $k$ de dimensión 1, y considerar $\Omega_X$ los diferenciales de Kahler. Quiero entender "cuántas" secciones globales hay.

Por un lado, por la propia definición, esto debería ser $\Omega_A$ que puedo calcular explícitamente con generadores y que generalmente tiene dimensión positiva (incluso infinita, por ejemplo $A=k[x]$ se rinde a sí mismo).

Por otro lado, sé que el género de $X$ es $H^1(X,O_X)=0$ porque el esquema es afín y por tanto tiene cohomología nula. Pero la dimensión de $H^0(X,\Omega_X)$ ¡¡es igual al género, por lo que es cero!!

Estoy seguro de que me estoy equivocando en la segunda parte, pero ¿dónde?

Gracias, Andrea

Answer 1

Como se dice en el comentario : $\dim H^0(X,\Omega^1_X)$ es el género de la curva $X$ sólo si $X$ es proyectiva, pero $\operatorname{Spec}k[x]$ no lo es.