Demostrando una función es una tarjeta abierta, con las limitaciones

Question

Siguientes a partir de una pregunta anterior que he publicado en aquí, dada la misma cosa, es decir, un conjunto abierto $U$ $\mathbb{R}^2$ y una función continua $f:U\rightarrow \mathbb{R}^2$ tal que para cada una de las $u\in U$ existe una vecindad $V_u$ $U$ tal que $f\uparrow_{V_u}$ es uno-a-uno.

Me gustaría mostrarles $f$ es una carta abierta.

Ahora me pregunto ¿qué pasaría si esta última afirmación será verdadera excepción de un solo punto, es decir, existe un $u_0$ tal que para cada una de las $u\in U$ si $u\neq u_0$ entonces existe una vecindad $V_u$ $U$ tal que $f\uparrow_{V_u}$ es uno-a-uno.

Es cierto que el $f$ es una tarjeta abierta? O tal vez tengo que añadir otra suposición para corregirlo?

He intentado probarlo por tomar cualquier conjunto abierto $V\subseteq U$, y la escritura como una unión de abrir conjuntos de $\{V_i\}_{i\in I}$ (una solución sugerida por @Joe Manlove ), mediante la toma de $ \hat V_v $ a ser un barrio con $ f\uparrow_{\hat{V}_v}$$1:1$, para cada $v\in V $, y luego tomar las $ V_v := \hat V_v \cap V $, por lo que el $V_v\subseteq V$, por lo que su unión sea exactamente $V$. Entonces puedo usar la Invariancia del Dominio Teorema en cada una de las $V_i$, logrando de esta forma que el $f(V)$ es una unión de bloques abiertos, por lo tanto abierta. Pero el problema ahora es que yo no podría ser capaz de encontrar dicha cobertura, debido a la posibilidad de $a$$V$. Lo que traté de hacer fue tomar la unión de todos los otros $V_v$ donde $v\neq a$, y luego resulta que $a$ debe ser en esta unión, porque $U$ es un conjunto abierto. Pero, de nuevo, no estoy tan seguro de que esto es correcto, y pensé que tal vez hay otra suposición (posiblemente uno pequeño) necesito hacer antes de ser capaz de demostrar esto?

Aparte de este caso, me pregunto, si esto es correcto, ¿significa que puedo tener más de un único "malo" de punto, es decir $u_0,...,u_n$ $f$ seguirá siendo un conjunto abierto?

Edit: ¿el siguiente me va a ayudar - de que la $\hat{A}=\{a\in U \,\,\, | \,\,\,\, f(a)=f(u_0) \}$ es un discreto sub-espacio en $U$?

Answer 1

La respuesta a su pregunta es afirmativa, es decir, $f$ sigue siendo un mapa. Esto se deduce del resultado de la pregunta anterior, junto con el siguiente lema: Supongamos que $U\subset \mathbb R^n$ es un conjunto abierto que contiene a un punto de $u_0$ y $f\colon U\to \mathbb R^m$ donde $m>1$, es una función continua tal que $f(U-\{u_0\})$ está abierto. Si hay un abrir y limitado conjunto de $D$ contiene $u_0$ tal que $\overline{D}\subset U$ que $f(D-\{u_0\})$ está abierta, $f(U)$ está abierto.

La respuesta a tu pregunta de la siguiente manera a partir de este lema porque en el escenario podemos tomar $D$ a ser lo suficientemente pequeño disco abierto que contiene a $u_0$, el cierre de la cual está contenida en $U$; tanto en $f(U-\{u_0\})$ $f(D-\{u_0\})$ será abierto por el resultado de la pregunta anterior, y, a continuación, el lema implica que $f(U)$ será abierta. Debido a que la hipótesis de su pregunta pulsado para abrir cualquier subconjunto de a $U$, lo que sigue es que el mapa de $f$ está abierto.

Me referiré ahora a la prueba del lema. Para empezar, necesitaremos el siguiente hecho: Si $p$ es un punto aislado de la frontera de un conjunto abierto $V\subset \mathbb R^m$ (donde$m>1$), $p$ es interior a la de cierre de $V$. Para probar este pick abierta conjunto conectado a $W$ contiene $p$ tal que $W\cap \partial V = \{p\}$ y poner $W' = W-\{p\}$; a continuación, $W'\cap V$ es no vacío y $W'\cap V = W'\cap \overline{V}$, de modo que por la conexión (que es lo que necesitamos dimensión$>1$) $W'\cap V = W'$. Por lo tanto $W\subset \overline V$ $p$ es interior a $\overline V$ como se reivindica.

Volviendo a la situación de la lema, escribir $U' = U-\{u_0\}$$D' = D-\{u_0\}$. Que $f(D')$ está abierto en $\mathbb R^m$ implica que el $\partial f(D')\subset f(\partial D') \subset f(\partial D) \cup \{f(u_0)\}$. Ahora $f(\partial D)$ es un subconjunto compacto del conjunto abierto $f(U')$, por lo que tiene de positivo la distancia desde el límite $\partial f(U')$. Por lo tanto si $f(u_0)$ se encuentra en el límite de $f(U')$ (como necesariamente, si no está ya en el interior de a$f(U')$), $f(u_0)$ es un punto aislado de a $\partial f(D')$. Por el hecho, demostrado esto significa que $f(u_0)$ es interior a la de cierre de $f(D')$, y desde el cierre de las $f(D')$ (que es igual a $f(\overline {D})$ por la compacidad de $\overline{D}$) se encuentra en $f(U)$ es de la siguiente manera a la vez que $f(u_0)$ es interior a $f(U)$. La conclusión a la que ahora sigue.

Answer 2

$f$ es una carta abierta en la $U_0=U\setminus\{a\}$ : si $V\subset U$ es abierto y $a\not\in V$ $f(V)$ está abierto (http://math.stackexchange.com/a/1006024/14409).

Si $V\subset U$ es un barrio abierto de $a$, $f(V)=f(V\setminus\{a\})\cup\{f(a)\}$ no está abierto a menos $f(a)\in\overline{f(V\setminus\{a\})}$. En particular, en orden a $f$ a ser abierto es necesario tener lo siguiente: $$\forall r>0,\ f(a)\in\overline{f(B(a,r)\setminus\{a\})}$$ donde $B(a,r)$ es la bola de radio $r$ centrada en $a$.

Sí, $\hat{A}=\{x\in U,\ f(x)=f(a)\}$ es discreto (posiblemente igual a $\{a\}$), ya que $f$ no puede ser constante en un barrio de cualquier punto de $x\in\hat{A}$.