Para un sistema sobredeterminado de rango completo $A \in \mathbb{R}^{m\times n}$ ¿es el rango siempre en $n$ -¿un subespacio dimensional?

Question

Cuando la solución $x$ a $Ax =b $ existe para una sobredeterminación ( $m > n$ ) sistema $A \in \mathbb{R}^{m\times n}$ con rango $n$ , lo hace $b$ vivir siempre en $n$ -subespacio dimensional de $\mathbb{R}^{m}$ ?

Dejemos que $m > n$ . Si $\rho{(A)}$ = n, entonces $\mathcal{N}(A)=\{0\}$ .

La solución puede no existir para todos los $b \in \mathbb{R}^{m}$ . Pero si lo hace, ¿es siempre en $n$ -¿un subespacio dimensional?

Mi proceso de pensamiento fue que si hay $x$ que resuelve $Ax = b$ entonces $A$ siempre tendrá $m-n$ filas de ceros y, por tanto, siempre tienen $m-n$ número de $0$ en la columna $b$ . Así, $b$ será un vector que abarca sólo $m - (m-n) = n$ dimensión.

Por ejemplo, en el caso de que el sistema $Ax = b$ tiene una solución para $A$ ser $3$ -por- $2$ con rango 2, es el lado derecho siempre en la forma de $b = [c_1, c_2, 0]^{\top}$ ?

¿Es esto correcto? Si no, ¿cuál sería un contraejemplo fácil?

Estoy confundido, ¿es esto obvio porque el rango $n$ significa que la dimensión de los vectores base que forman $b$ es $n$ ?

Answer 1

La respuesta a la primera pregunta es Sí. Tenga en cuenta que el rango de una transformación lineal T es la dimensión de la imagen/rango de la transformación. Esto significa que la imagen es un $n-$ subespacio dimensional de $\mathbb{R^m}.$

Esto también responde a su segunda pregunta. Es decir $b$ debe estar dentro de la imagen, que es $\mathbb{R^n}.$ Eso significa que tienes razón.

La respuesta a su última pregunta: Casi tiene razón. Por casi me refiero a la $0$ en $b$ podría ser cualquiera de las tres coordenadas. Tienes la idea correcta.

Por último, si considera un $m \times n$ matriz como un mapa lineal $T: \mathbb{R^n} \rightarrow \mathbb{R^m}$ Todo se puede explicar de forma más geométrica.

Comentarios adicionales:

Hace un par de meses escribí la siguiente respuesta. Piensa en el teorema de la dimensión.

El teorema de la dimensión (el teorema de la nulidad) puede explicarse de muchas maneras. Yo lo considero una consecuencia del primer teorema de isomorfismo/lema de división. Cuando enseño álgebra lineal teórico-matricial en la licenciatura, empiezo con la ecuación $Ax=b,$ y les digo a mis alumnos que el teorema de la dimensión dice básicamente que el número de variables totales es igual a la suma del número de variables libres y el número de variables "no libres". Esta afirmación les resulta muy fácil. Si enseño una clase de matemáticas de grado "formal/basada en pruebas", les digo a mis alumnos que el teorema de la dimensión básicamente nos dice cuántas "cosas" tenemos que poner dentro de los espacios nulos para extenderlos al espacio vectorial dado. Esta última frase tiene cierto atractivo geométrico. A eso me refiero cuando digo que hay que considerar una matriz geométricamente. Se puede considerar la nulidad de rango/teorema de la dimensión como el análogo algebraico lineal del Principio de Colocación. Obsérvese que para cualquier conjunto finito $A,$ la función $f: A \rightarrow A$ es inyectiva si es sobreyectiva si es biyectiva. Es una consecuencia del Principio de la Colocación. Gracias a la nulidad de rango/teorema de la dimensión se obtiene una conclusión similar para un espacio vectorial de dimensión finita $V,$ y cualquier mapa lineal $T: V \rightarrow V.$ En resumen: Usted considera la matriz como una matriz de números, lo cual está bien. Si piensas en una matriz como un mapa entre dos espacios vectoriales de dimensión finita, una matriz es más que una simple matriz de números. Espero que esto ayude.