Pregunta sobre la suma de Riemann

Question

Límite como $n$ va al infinito de $$\sum_{k=1}^n \left(\frac k {n^2}-\frac{k^2}{n^3}\right)$$ Sé que tengo que hacer una integral pero no consigo averiguar cómo adquirir los límites de integración. Cualquier ayuda sería genial.

Answer 1

En realidad no necesitamos realizar una integral aquí, podemos simplemente sacar los factores constantes:

$$\lim_{n\to\infty}\left(\sum_{k=1}^{n}\left[\frac{k}{n^{2}}-\frac{k^{2}}{n^{3}}\right]\right)=\lim_{n\to\infty}{\left(\frac{1}{n^{2}}\sum_{k=1}^{n}{k}-\frac{1}{n^{3}}\sum_{k=1}^{n}{k^{2}}\right)}$$

Utilizando nuestras fórmulas conocidas, tenemos $\sum_{k=1}^{n}{k}=\frac{n(n+1)}{2}$ y $\sum_{k=1}^{n}{k^{2}}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ por lo que podemos reescribir nuestra expresión anterior como

$$\lim_{n\to\infty}{\left(\frac{n^{2}+n}{2n^{2}}-\frac{n+3n^{2}+2n^{3}}{6n^{3}}\right)}=\lim_{n\to\infty}{\left(\frac{1}{6}-\frac{1}{6n^{2}}\right)}=\frac{1}{6}$$

Así que logramos hacer este caso particular sin la integral de Riemann. Aunque estoy seguro de que las otras respuestas te ayudarán a hacerlo usando la integral si te lo piden para los deberes.

Espero que esto ofrezca un punto de vista ligeramente diferente y útil sobre la suma.

Answer 2

Para convertir esto en una suma de Riemann, mapea $x=\frac{k}{n}$ y $\mathrm{d}x=\frac1n$ . Entonces, porque $\frac1n\le\frac{k}{n}\le1$ obtenemos $0\le x\le1$ : $$ \begin{align} \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\left(\frac{k}{n^2}-\frac{k^2}{n^3}\right) &=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\left(\frac{k}{n}-\frac{k^2}{n^2}\right)\frac1n\\ &=\int_0^1(x-x^2)\,\mathrm{d}x\\ \end{align} $$

Answer 3

Al evaluar los límites de las sumas de Riemann sobre $[a,b]$ la forma de partición con la que es más probable encontrarse es la partición uniforme, en la que cada intervalo tiene una longitud $\frac{b-a}{n}.$ Desde $\frac{1}{n}$ es lo máximo que se puede factorizar de la suma, parece claro que la suma que debemos integrar sobre $[0,1].$ Ahora es tu tarea averiguar cuál es la función que estás integrando.

Answer 4

$$\frac1n\sum_{k=1}^n\left[\left(\frac{k}n\right)-\left(\frac{k}n\right)^2\right]$$