Dejemos que $V$ sea un espacio vectorial sobre $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ . ¿Puede haber un conjunto $S$ de $2 n$ vectores en $V$ de manera que cualquier $n$ vectores en $S$ abarcan un espacio de dimensión exacta $n-1$ pero no $n$ vectores $v_1,\dotsc ,v_n\in S$ satisfacer $v_n = v_1 + v_2 + \dotsc + v_{n-1}$ ?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Ya que cada $n$ Los vectores abarcan un espacio de dimensión $n-1$ el conjunto $S$ abarca un espacio de dimensión $n-1$ y podemos suponer que $V$ tiene dimensión $n-1$ . Elija $n-1$ vectores linealmente independientes $T=\{t_1,t_2,\dots,t_{n-1}\}\subseteq S$ y asignarles la base estándar, es decir $t_k=(0,0,\dots,0,1,0,\dots,0)$ donde el $1$ está en el índice $k$ .
Dejemos que $x,y\in S\setminus T$ sean distintos. Para cada $k\in\{1,\dots,n-1\}$ , $x_k\neq 0$ o $y_k\neq 0$ , de lo contrario hay $n$ vectores en $S$ abarcando un $n-2$ espacio dimensional: $x$ , $y$ y todos los vectores en $T$ excluyendo $t_k$ .
Por el principio de encasillamiento, hay como máximo $n-1$ índices cero en $S\setminus T$ . Así que hay como máximo $n$ vectores en $S\setminus T$ (de lo contrario, habría dos todo- $1$ vectores).
Así que el tamaño de $S$ es como máximo $2n-1$ . Como resultado, no hay un conjunto $S$ de tamaño $|S|=2n$ de manera que cualquier $n$ vectores de $S$ abarcar un $(n-1)$ -subespacio dimensional.
