¿Cómo encontrar la relación de recurrencia a partir de una ecuación?

Question

Tengo la restricción $8n^2-8n+1 = m^2$ y quiero encontrar la relación de recurrencia de todos los enteros n que satisfacen esta ecuación. He encontrado una relación de recurrencia de $A_n$ = $6A_{n-1}$ - $A_{n-2}$ + 2, pero no sé cómo demostrar que esto es correcto.

¿Alguien puede explicármelo? Muchas gracias.

Answer 1

Su ecuación puede escribirse como ecuación Pell negativa $m^2-2(2n-1)^2=-1$ que satisface la conocida recurrencia $2a_n-1=6(2a_{n-1}-1)-(2a_{n-2}-1)$ que se simplifica en $a_n=6a_{n-1}-a_{n-2}-2$ .

(La secuencia de soluciones para $2n-1$ en la ecuación anterior se da en OEIS . )