Pruebas limpias e inteligentes para demostrar que el automorfismo interno en G es un subgrupo normal del grupo de automorfismos de G

Question

Sigo practicando para un examen cualitativo de álgebra (el intento de gratuidad que tenemos la semana antes del primer semestre de la carrera). Estoy especialmente interesado en aprender a escribir pruebas más limpias y más inteligentes o pruebas que utilizan diferentes métodos además de una manipulación directa de las definiciones para ampliar mi caja de herramientas. ¿Alguien tiene comentarios sobre mi prueba de la pregunta titular o quizás una prueba alternativa? Aquí está mi intento de prueba...

$\mathrm{Inn}(G)$ son todos los mapas de $G$ tal que $\phi_g$ se define por $\phi_g(x) = gxg^{-1}$

Dejemos que $f \in \mathrm{Aut}(G)$ entonces $f: G \rightarrow G$ es un isomorfismo

Considere el conjunto $f$ $\mathrm{Inn}(G)$ $f^{-1}$ = $\{ f(\phi_g(f^{-1})) | \phi_g \in \mathrm{Inn}(G) \}$

$f\circ\phi_g\circ f^{-1}(x) = f(\phi_g(f^{-1}(x))) = f(gf^{-1}(x)g^{-1}) = f(g)xf(g^{-1}) = \phi_{f(g)}(x)$

Desde $f(g)$ es un isomorfismo y sacamos nuestro $g$ de todos los $G$ , $f$ $\mathrm{Inn}(G)$ $f^{-1} = \mathrm{Inn}(G)$ y hemos terminado.

Esta pregunta no es un duplicado de Los automorfismos internos forman un subgrupo normal de Aut(G) . Esta pregunta está buscando retroalimentación sobre un intento particular de una prueba para ayudar a OP a aprender mejor la escritura de pruebas a través de la crítica de su propia escritura, que es la razón por la que está etiquetada como "escritura de pruebas". También esta pregunta pide pruebas alternativas. En cualquier caso, no es un duplicado.

Answer 1

Tu prueba está perfectamente bien, aunque la redacción parece un poco torpe, sobre todo porque empieza repitiendo definiciones en lugar de exponer un objetivo. Creo que puedes limpiarlo un poco utilizando una forma más estándar (no porque siempre sea bueno utilizar una forma estándar, pero aquí funciona) y escribiendo las definiciones cuando las necesites, no al principio:

Teorema: El conjunto de automorfismos internos $\operatorname{Inn}(G)$ es un subgrupo normal de $\operatorname{Aut}(G)$ .

Prueba: Dejemos que $\phi_g(x)=gxg^{-1}$ sea un automorfismo interno de $G$ y $f$ sea un automorfismo de $G$ . Podemos demostrar que $f\phi_g f^{-1} = \phi_{f(g)}$ aplicando el lado izquierdo a un $x\in G$ y manipular el resultado: $$f(\phi_g(f^{-1}(x)))=f(gf^{-1}(x)g^{-1})=f(g)xf(g)^{-1}=\phi_{f(g)}(x).$$ Desde $\operatorname{Inn}(G)$ es el conjunto de automorfismos de la forma $\phi_g$ Esto demuestra que $\operatorname{Inn}(G)$ es un subgrupo normal de $\operatorname{Aut}(G)$ .

Esto supone que ya ha demostrado que $\operatorname{Inn}(G)$ es en realidad un subgrupo de $\operatorname{Aut}(G)$ pero básicamente puedes usar la forma anterior para cada uno de los axiomas que necesitarías mostrar para demostrarlo. También asume en gran medida que ya has definido $\operatorname{Inn}(G)$ y $\operatorname{Aut}(G)$ Pero si estás escribiendo sólo esta prueba en un examen, eso es casi un hecho, y si estás escribiendo un texto más sustancial, sería mejor introducir los conceptos antes de tratar de demostrar un teorema sobre ellos.