Érase una vez, cuando la Wikipedia fue sólo de tres y medio años de edad y la mayoría de la gente no sabía lo que era, el artículo titulado funcional de la ecuación dio la identidad $$ \sin^2\theta+\cos^2\theta = 1 $$ como un ejemplo de una ecuación funcional. En esta edición , en julio de 2004, mi resumen dijo: "creo que el ejemplo que se acaba de poner aquí es realmente pésimo, porque es esencialmente sólo una ecuación algebraica en dos variables." (A continuación, algunos de los posteriores ediciones que hice el mismo día trajo el artículo a este estado, y mucho más el desarrollo del artículo que ha sucedido desde entonces.)
El hecho de que es realmente sólo una ecuación algebraica en dos variables, $x^2+y^2=1$, hace un pésimo ejemplo de una ecuación funcional. Realmente no implican $x$ $y$ como funciones de $\theta$, ya que cualquier otro parametrización del círculo hubiera satisfecho la misma ecuación. En un sentido, que explica por qué alguien como Norman Wildberger puede hacer todo tipo de elaborar cosas con la trigonometría, sin tener que hacer uso de las funciones trigonométricas.
Pero algunas identidades trigonométricas involucran funciones trigonométricas, por ejemplo, $$ \sin(\theta_1+\theta_2)=\sin\theta_1\cos\theta_2+\cos\theta_1\sin\theta_2 $$ $$ \s(\theta_1+\cdots+\theta_n) = \frac{\sec\theta_1\cdots\sec\theta_n}{e_0-e_2+e_4-e_6+\cdots} $$ donde $e_k$ $k$th-grado de primaria simétrica polinomio en $\tan\theta_1,\ldots,\tan\theta_n$. Estos son buenos ejemplos de la satisfacción de las ecuaciones funcionales.
Así que en este punto me pregunto si todas las identidades trigonométricas que parecen depender de que parametrización del círculo es elegido implican sumar o restar los argumentos y no otras operaciones. En algunos casos la suma o la resta está escrito como una condición en la que la identidad depende, por ejemplo, $$ \text{Si }x+y+z=\pi\text{ entonces }\tan x+\bronceado y+\tan z = \tan x\bronceado y\bronceado z. $$
PREGUNTA: ¿ todas las identidades trigonométricas que hacer involucran funciones trigonométricas, en el sentido de que son buenos ejemplos de la satisfacción de las ecuaciones funcionales por funciones trigonométricas, obtener la no trivialidad como tal sólo ejemplos de la suma o la resta de los argumentos? O es que hay algún otro tipo? Y si no hay ningún otro tipo, que puede ser demostrado?
Posdata: Wikipedia la lista de trigonometic identidades es más interesante la lectura que usted podría pensar. Tiene no sólo la rutina de las cosas que has aprendido en el 10mo grado, pero también algunas cosas exóticas que probablemente la mayoría de los matemáticos no sé acerca de. Inicialmente fue creado en septiembre de 2001 por Axel Boldt, que fue hace más de un año, el autor principal de casi todos los de la Wikipedia en matemáticas de los artículos.
