Función generadora de momentos de la normal estándar

Question

Hasta donde yo sé, dada una variable aleatoria $X$ definimos su función generadora de momentos como $$M_X(t) = \mathbb{E} \left[ e^{ tX} \right] \ \ , \ t \in \mathbb{R}$$ He leído que el MGF para una variable aleatoria general puede no estar definido para valores negativos de $t$ . ¿Y si $X \sim N(0,1)$ ? ¿Podemos estar seguros de que su MGF está bien definido para t negativo?

Answer 1

Para $X \sim N(0,1)$ tenemos $Ee^{tX}=e^{t^{2}/2}$ para todos los números reales $t$ . Una forma de demostrarlo es usar la función característica y utilizar un resultado básico del Análisis Complejo [El Teorema de la Identidad].