Uniones finitas e infinitas

Question

Dejemos que $\mathcal{F}\subseteq\mathcal{P}(X)$ un álgebra. Entonces para toda secuencia $\{E_k\}\subseteq\mathcal{F}$ existe una secuencia disjunta $\{F_k\}\subseteq\mathcal{F}$ tal que

1) $F_k\subseteq E_k$ para todos $k\in \mathbb{N}$

2) $\bigcup_{k=1}^{+\infty} E_k=\bigcup_{k=1}^{+\infty} F_k$ .

Basta con considerar la secuencia $$\begin{align} F_1& =E_1 \\ F_n & =E_n\setminus \bigcup_{k=1}^{n-1} E_k. \end{align}$$ Ahora, observamos que $$\begin{equation} \bigcup_{k=1}^{n} E_k=\bigcup_{k=1}^{n} F_k. \end{equation}$$ En este punto, ¿cómo puedo llegar a la conclusión 2)?

Gracias.

Answer 1

Pista: Supongamos que no. Sea $n$ sea mínima, tal que $$\bigcup_{k =1}^{n} E_k \neq \bigcup_{k=1}^{n} F_k.$$ Desde $F_k \subseteq E_k$ para todos $k$ por lo tanto, hay algo de $x \in E_n \setminus F_n$ (por la minimidad de $n$ ). Pero $F_n = \ldots$ lo que lleva a la contradicción deseada.

Answer 2

No creo que la igualdad de las uniones finitas sea realmente un paso útil en el camino.

En su lugar, demuestre $\bigcup E_k\subseteq\bigcup F_k$ y $\bigcup F_k\subseteq\bigcup E_k$ por separado considerando un elemento arbitrario del lado izquierdo y demostrando que debe estar también en el lado derecho.

No es necesario que sea una prueba indirecta.