Si la integral de una función positiva/negativa es convergente, entonces el límite de la función será cero?

Question

Demostrar o refutar:

a) $f$ es integrable por Reimann en el intervalo $[1,b]$ $\forall$ $b>1$ , $f(x) > 0$ $\forall x$ y $\int_1^\infty f(x)dx $ es convergente. Entonces, $$\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=0$$ b) ¿Sigue siendo su conclusión la misma si $f(x)$ puede tomar cualquier valor?

Estoy luchando con esta pregunta. Esto es lo que sé pero no puedo unir las piezas. Necesito una prueba rigurosa.

Para la parte a, ya que $\int_1^\infty f(x)dx $ es convergente, $\int_1^\infty f(x)dx = \lim_{x \to \infty}\int_1^x f(u)du $ existe.

Intuitivamente, creo que debo demostrar que como la función es positiva y la integral es convergente, debe ser que existe una $N$ tal que $\forall n >N$ , $f(x_n)-f(x_{n-1})<\epsilon$ para cualquier $\epsilon>0$ lo que debería implicar que el límite de la función es cero. Pero no estoy seguro de esto.

Para la parte b, mi suposición es que la conclusión no se mantendrá ya que necesitamos que la función sea positiva para demostrar la afirmación de la parte a. Pero no sé cómo puedo demostrarlo.

Gracias por su ayuda.

Answer 1

Si $f$ es positivo (e incluso continuo), entonces podemos tener $\int_1^\infty f(x) \, dx$ convergen y $f(x) \not\to 0$ como $x \to \infty$ .

Toma $f(x) = x^{-2} + \sum_{k=2}^\infty \phi_k(x)$ donde

$$\phi_k(x) = \begin{cases}k^2(x - k + k^{-2}) & k- k^{-2} \leqslant x \leqslant k \\ k^2(k + k^{-2}-x) & k < x < k + k^{-2}\\ 0& \text{otherwise} \end{cases}$$

En este caso $\limsup f(x) = 1$ y $\liminf f(x) = 0$ por lo que el límite no existe, pero $$\int_1^\infty f(x) \, dx = 1 + \sum_{k=2}^\infty \frac{1}{k^2} < \infty$$