¿Por qué la ecuación $ -\sum^{n}_{t=1} \tilde{W}(t)_{m-1} y_{t}h(x; \theta_{m}) = 2 \epsilon_m -1$ ¿se mantiene en el impulso?

Question

Estaba tratando de entender el algoritmo de refuerzo descrito por el Apuntes de las clases de posgrado del MIT sobre ocw .

En la página 2 dan el esquema de la potenciación de la siguiente manera:

El paso que no me queda claro es la relación marcada como ecuación (2), es decir

$$ -\sum^{n}_{t=1} \tilde{W}(t)_{m-1} y_{t}h(x; \theta_{m}) = 2 \epsilon_m -1$$

¿Por qué se mantiene esa relación? No me queda del todo claro.

Además, recuerda que $\epsilon_m$ es el error de clasificación ponderado (pérdida cero), es decir

$$ \epsilon_m = \sum^{n}_{t=1} \tilde{W} (t) _{m-1} \mathbb{1}\{ y^{(t)} \neq h(x^{(t)}; \theta_{m})\} $$

donde $\mathbb{1}\{ \cdot \} $ es la función indicadora.

Answer 1

Reescribamos la fórmula (2) como

$$ 1 = 2 \epsilon_m + \sum_{t=1}^n W_{m-1}(t) y_t h(x_t, \theta) = \sum_{t=1}^n W_{m-1}(t) \Bigl(2 [h(x_t, \theta) \ne y_t] + y_t h(x_t, \theta) \Bigr) $$

Ahora, veamos lo que tenemos en el gran paréntesis. Recordemos que $h(x), y \in \{-1, +1\}$ Si coinciden, el paréntesis es igual a 1. Si no coinciden, el paréntesis también es igual a 2 - 1 = 1. Por lo tanto, la suma de todas las cosas es 1, ya que W s están normalizados.