Declaraciones equivalentes de $(M,P)$ -condiciones genéricas

Question

Estoy leyendo por primera vez sobre el forzamiento adecuado y uno de los resultados estándar sobre las propiedades de $(M,P)$ -condiciones genéricas es el hecho de que en un submodelo elemental $M$ de $H_\lambda$ para un tamaño lo suficientemente grande $\lambda$ que contiene $P$ y un nombre $\dot\alpha$ de un ordinal en la extensión genérica $M[G]$ (es decir $0 \Vdash ``\dot\alpha \text{ is an ordinal}"$ ) entonces para cualquier $(M,P)$ -condición genérica $q \in P$ tenemos $q \Vdash M[\dot G] \cap Ord = M \cap Ord$ donde $Ord$ es el conjunto de ordinales de nuestro modelo básico.

En la demostración de este lema (véase, por ejemplo, Halbeisen, Combinatorial Set Theory, Theorem 21.3), se define el siguiente conjunto y se afirma que es abierto denso $$D = \left\{ r \in P \mid \exists \beta \in Ord^M: r \Vdash \dot \alpha = \check\beta \right\}.$$

He estado pensando en por qué este conjunto debe ser denso abierto, pero no he hecho ningún progreso, mientras que también está confundido acerca de por qué este conjunto no es todo de $P$ (que mi intuición me dice que es falsa) viendo como el forzamiento no añade ningún nuevo ordinal y $\dot\alpha[G]$ es necesariamente uno por hipótesis.

Answer 1

Una de las ideas que subyacen al forzamiento es que, poco a poco, vamos haciendo más y más promesas sobre las extensiones genéricas. Y una de las propiedades clave de una promesa es que no se puede dar marcha atrás.

Si $\dot\alpha$ es un nombre y la condición más débil promete que es un nombre para un ordinal, entonces no podemos incumplir esta promesa. Pero también sabemos que en algún momento, las afirmaciones $\dot\alpha=\check\beta$ y $\dot\alpha\neq\check\beta$ tendrá que ser decidido. Así que el conjunto $D$ es el conjunto de todas las condiciones que nos prometen no sólo que $\dot\alpha$ será un ordinal, especifican cuál.

1. Porque no podemos incumplir las promesas, $D$ está abierto. Si $r$ prometió que $\dot\alpha=\check\beta$ entonces toda condición más fuerte debe estar de acuerdo.
2. Porque en general un forzamiento no puede añadir nuevos ordinales al universo, $D$ es denso. Si $p$ es cualquier condición, tiene una extensión que decide qué ordinal $\dot\alpha$ va a ser.

La idea clave de la propiedad es que si $M$ es un submodelo elemental contable de $H_\lambda$ para un tamaño suficientemente grande $\lambda$ , entonces el forzamiento no añadirá ordinales a $M$ tampoco. Es una condición sobre lo bien que se comporta un forzamiento con respecto a los modelos contables. Uri Abraham me explicó una vez la idea de la manera más esclarecedora:

Ser correcto significa simplemente que forzar con $P$ se desplaza con el colapso de Mostowski. Es decir, el colapso $M$ para ser un modelo transitivo, $\bar M$ ; toma $\bar G$ para ser un $(\bar M,\bar P)$ -filtro genérico, donde $\bar P$ es la imagen de $P$ entonces $\bar M[\bar G]$ no tiene nuevos ordinales, y si invertimos el colapso transitivo y dejamos que $G$ sea la preimagen de $G$ entonces $M[G]$ tampoco debería tener nuevos ordinales. Que es, en su esencia, de lo que se trata la propiedad.

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Por último, para entender los nombres frente a los objetos, considere el forzamiento de Cohen con funciones parciales finitas $p\colon\omega\to2$ y que $\dot g$ sea el nombre de la función genérica. Ahora defina $\dot m$ para ser "el menos $n$ tal que $\dot g(\check n)=1$ ", y analizar lo que cada condición obliga a $\dot m$ .

Por ejemplo, $p$ tal que $\operatorname{dom}(p)=\{4\}$ y $p(4)=1$ obligará a $\dot m<\check 5$ Pero, ¿puede decir algo más que esto?