¿Es $(11)$ un ideal primo de $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$?

Question

¿Es $(11)$ un ideal primo de $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$? Sé que $11$ es un elemento irreducible en $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$. Ahora, para determinar si es primo, podemos decir que $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ es isomorfo a $\mathbb{Z}[x]/(x^2 + 5)$. Así que obtenemos un isomorfismo $$ \mathbb{Z}[\sqrt{-5}]/(11) \;\;\simeq\;\; \mathbb{Z}_{11}[x]/(x^2 + 5) \,.$$

Dado que $\mathbb{Z}_{11}$ es un cuerpo, $\mathbb{Z}_{11}[x]$ es un PID, y dado que $(x^2 + 5)$ es irreducible sobre $\mathbb{Z}_{11}[x]$, el anillo $\mathbb{Z}_{11}[x]/(x^2 + 5)$ es un cuerpo. Por lo tanto, $(11)$ puede ser tratado como un ideal maximal así como un ideal primo en el anillo $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$.

Answer 1

Como se indica en los comentarios, sí, tienes razón. Sin embargo, podría ser sabio justificar por qué $(x^2+5)$ es irreducible sobre $\mathbb{Z}_{11}[x]$.

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