¿Por qué un cuboide gira de forma estable alrededor de dos ejes pero no del tercero?

Question

Dejemos que $C$ sea un cuboide (paralelepípedo rectangular) con aristas de longitudes $a < b < c$ .

Consideremos un eje que pasa por los centros de dos caras opuestas de $C$ . Hay tres ejes de este tipo, uno que pasa por los centros de los $a$ - $b$ caras, una a través de los centros de las $a$ - $c$ caras, y una a través de los centros de las $b$ - $c$ caras.

Alguien me dijo hace muchos años que si lanzas el cubo al aire y lo haces girar alrededor del $a$ - $b$ o el $b$ - $c$ eje, la rotación será estable en el sentido de que la rotación tenderá a volver a su eje original si se perturba ligeramente. Pero dicen que un cubo que gira alrededor de su $a$ - $c$ es inestable, en el sentido de que cualquier pequeña desviación en el eje de rotación tenderá a magnificarse con el tiempo.

He intentado comprobarlo lanzando varios objetos cuboides, como encendedores Zippo, teléfonos móviles y bloques de madera; parece que es cierto.

Mis preguntas son:

1. ¿He descrito esto correctamente? Si no, ¿cuál es la descripción correcta?
2. ¿Cuál es la explicación matemática de este fenómeno?
3. ¿Hay una explicación intuitiva?

Answer 1

Me gusta tu descripción de esta genialidad de la física poco intuitiva. Me parece que el mejor equilibrio de $a$ a $b$ a $c$ al coste del objeto implicado es mejor para una baraja (en caja).

El explicación matemática para esto (véase también Wikipedia ) es que cuando se considera en el marco de eje principal (es decir, el marco de referencia que gira con el cuerpo y cuyos ejes son los ejes principales de inercia del cuerpo), el movimiento puede describirse mediante la velocidad angular $\vec{\omega}$ y el momento angular $\vec{L}=I\vec{\omega}$ y en ausencia de pares externos debe conservar el magnitud del momento angular, $$L^2=L_1^2+L_2^2+L_3^2$$ (aunque no su dirección, ya que el marco no es inercial), y la energía de rotación, $$E=\frac{L_1^2}{2I_1}+\frac{L_2^2}{2I_2}+\frac{L_3^2}{2I_3}.$$

El movimiento se limita a moverse a lo largo de las intersecciones de un elipsoide y una esfera:

Estas curvas son elipses cerradas, o casi, cerca de los ejes con los momentos de inercia más pequeños y más grandes, pero son localmente hipérbolas cerca del medio. De ahí la inestabilidad.