$\mathbb N$ denotará el conjunto $\{0,1,2,\ldots\}.$ El semigrupo $(\mathbb N,+)$ no tiene un elemento cero . $\mathbb N^0$ denotará el semigrupo $\mathbb N$ con cero adjunto, es decir, el conjunto $\mathbb N\cup\{\star\},\;\star\not\in\mathbb N,$ con la operación $+_0$ definido por $$a+_0b=\begin{cases}a+b & \text{ for } \{a,b\}\subset\mathbb N\\\star &\text{ for } \{a,b\}\not\subset\mathbb N\end{cases}$$
¿Existe un anillo cuya estructura multiplicativa sea isomorfa a $\mathbb N^0?$ Creo que no lo hay, pero no veo una prueba.
He demostrado que el semigrupo definido análogamente $\mathbb Z^0$ no es isomorfo a la estructura multiplicativa de ningún anillo, pero podría hacerlo porque tal anillo tendría que ser un campo, lo que facilita la tarea. Dicho campo tendría que ser de característica $2$ porque el grupo multiplicativo de cualquier otro campo contiene $\{-1,1\}$ como un subgrupo finito isomorfo a $\mathbb Z/2\mathbb Z,$ y $(\mathbb Z,+)$ no tiene subgrupos finitos no triviales. Por lo tanto, el campo tendría que ser una extensión de $\mathbb F_2.$ Si fuera una extensión algebraica, su grupo multiplicativo sería finito o contaría con un subgrupo finito no trivial, lo cual es de nuevo imposible. Sin embargo, una extensión trascendental tendría que tener una copia de $\mathbb F_2(x)$ en ella, cuyo grupo multiplicativo no está generado finitamente. Todo subgrupo de $\mathbb Z$ está generada finitamente.
La restricción característica se traslada a la pregunta que estoy haciendo. Si $1\neq -1$ en un anillo, entonces su grupo de unidades tiene $\mathbb Z/2\mathbb Z$ como subgrupo, que $\mathbb N^0$ no lo hace. Así que cualquier anillo cuya estructura multiplicativa es isomorfa a $\mathbb N^0$ debe ser de la característica $2.$ Es más, tendría que tener un grupo trivial de unidades, ya que no hay elementos invertibles en $\mathbb N^0$ que no sea $0.$ Obviamente debe ser un anillo conmutativo contable con unidad. Hay anillos que satisfacen estas condiciones: $\mathbb F_2[x]$ lo hace. Sin embargo, la estructura multiplicativa de $\mathbb F_2[x]$ no es isomorfo a $\mathbb N^0.$ (La prueba que he encontrado me parece demasiado complicada, así que si tienes una muy sencilla, me encantaría verla. La mía implica contar elementos "primos" en los semigrupos, definidos como para los anillos). Si pudiera reducir esta pregunta a $\mathbb F_2[x],$ de forma similar al caso de $\mathbb Z$ y $\mathbb F_2(x),$ sería genial pero no veo cómo hacerlo.
