Evaluar $\lim_{x\to \infty} \frac{f^{-1}(2021x)-f^{-1}(x)}{\sqrt[2021] x}$ , donde $f(x)=2021x^{2021}+x+1$

Question

Dejemos que $f(x)=2021x^{2021}+x+1$ y calcular el siguiente límite: $$\lim_{x\to \infty} \frac{f^{-1}(2021x)-f^{-1}(x)}{\sqrt[2021] x}$$

Mi intento: quiero utilizar el teorema del valor medio para $f^{-1}(x)$ entonces tenemos: $ \frac{2020x}{((2021)^2 (_y)^{2021}+1)(\sqrt[2021] x)}$ . Y $f(_y)=_x$ , $_x(x,2021x) $ . Sabemos que $_x$ tienden a 0 cuando x tiende a $\infty$ por lo que a partir de la expresión de $f$ sabemos $_y$ pero no sabemos el cociente de $_y$ y $x$ Así que creo que esta forma es un fracaso. Pero no puedo hacerlo de otra manera.

Answer 1

$$L=\lim_{x\to \infty} \frac{f^{-1}(2021x)}{\sqrt[2021]x}=\sqrt[2021]{2021}\lim_{u\to \infty} \frac{f^{-1}u}{\sqrt[2021]{u}}$$ ahora dejemos $u=f(x)$ $$L=\sqrt[2021]{2021}\lim_{x\to \infty} \frac{x}{\sqrt[2021]{2021x^{2021}+x+1}}=1$$ ahora $$\tau=\lim_{x\to \infty} \frac{f^{-1}x}{\sqrt[2021]{x}}=\lim_{t\to \infty}\frac{f^{-1}(f(t))}{\sqrt[2021]{f(t)}}=\lim_{t\to \infty} \frac{t}{\sqrt[2021]{2021t^{2021}+t+1}}=\frac{1}{\sqrt[2021]{2021}}$$ por lo que el valor requerido es $$L-\tau=?$$

Answer 2

Dejemos que $y=x^{1/2021}$ entonces $x\to\infty$ si $y\to\infty$ por lo que consideramos el límite $$\lim_{y\to\infty}\frac{f^{-1}(2021y^{2021})-f^{-1}(y^{2021})}{y}.$$ Tenga en cuenta que $f$ es estrictamente creciente, por lo que $f^{-1}(2021y^{2021})<y$ . Tenga en cuenta que $2021y^{2021}-f(y-1)$ es un polinomio de grado par $2020$ cuyo término principal tiene un coeficiente positivo $2021^2>0$ Así que cuando $|y|$ es suficientemente grande, tenemos $f(y-1)<2021y^{2021}$ y por lo tanto $y-1<f^{-1}(2021y^{2021})$ . Por lo tanto, $$0<\left|\frac{f^{-1}(2021y^{2021})-y}{y}\right|<\frac1{|y|}, \qquad |y|>>1.$$ Por lo tanto, $$\lim_{y\to\infty}\frac{f^{-1}(2021y^{2021})}{y}=1.$$ Y así $$\lim_{y\to\infty}\frac{f^{-1}(y^{2021})}{y}=\lim_{y\to\infty}\frac{f^{-1}(2021(2021^{-1/2021}y^{2021}))}{y}=2021^{-1/2021}.$$ Finalmente, $$\lim_{y\to\infty}\frac{f^{-1}(2021y^{2021})-f^{-1}(y^{2021})}{y}=1-2021^{-1/2021}=1-\left(\frac1{2021}\right)^{1/2021}.$$

Answer 3

Para un $\epsilon>0$ tenemos $$ 2021x^{2021}<f(x)<(2021+\epsilon)x^{2021} $$ que se mantiene para un tamaño suficientemente grande $x$ . Por lo tanto, $$ (\frac{x}{2021+\epsilon})^\frac{1}{2021}<f^{-1}(x)<(\frac{x}{2021})^\frac{1}{2021}, $$ de la cual $$ (\frac{x}{1+\epsilon_1})^\frac{1}{2021}<f^{-1}(2021x)<(x)^\frac{1}{2021}, $$ donde $\epsilon_1=\epsilon/2021$ y podemos escribir $$ (\frac{2021}{2021+\epsilon})^\frac{1}{2021}-(\frac{1}{2021})^\frac{1}{2021} < \frac{f^{-1}(2021x)-f^{-1}(x)}{x^{\frac{1}{2021}}}<1-(\frac{1}{2021+\epsilon})^\frac{1}{2021}. $$ Dado que los límites anteriores se mantienen para cualquier $\epsilon>0$ el límite debe ser $ 1-(\frac{1}{2021})^\frac{1}{2021}\approx 0.00375904653 $ .