¿Por qué A_ \infty forman un A_ \infty ¿categoría?

Question

Estoy en un grupo de lectura que estudia el libro de Seidel ( Categorías de Fukaya y teoría de Picard-Lefschetz ). Todos los participantes tienen experiencia en topología simpléctica/métodos de curvas pseudoholomórficas. Estamos atascados tratando de entender el capítulo que presenta los antecedentes algebraicos de las categorías de Fukaya.

Seidel hace la siguiente afirmación: La no-unital $A_\infty$ functores $\mathcal F: \mathcal A \rightarrow \mathcal B$ son a su vez objeto de una $A_\infty$ categoría. Los morfismos $\mathrm{hom}( \mathcal F_0, \mathcal F_1)$ son algo que él llama (siguiendo a Fukaya) transformaciones prenaturales. (Los morfismos $T$ para lo cual $\mu_1(T) = 0$ son las transformaciones naturales). Seidel proporciona entonces las fórmulas para las composiciones $\mu_d$ . (Esto se trata en la sección (1d) del libro [página 10]).

En nuestro grupo de trabajo, hemos intentado comprobar que estas fórmulas para las composiciones satisfacen el $A_\infty$ ecuaciones de asociatividad, pero no pudieron hacerlo más allá de $\mu_1$ .

Tengo dos preguntas (que pueden ser la misma):

¿Por qué estos mapas de composición satisfacen la $A_\infty$ ecuaciones de asociatividad? ¿Hay alguna manera de entender esto geométricamente?

Answer 1

Puedo explicar los dibujos que suelo hacer para pensar en $A_\infty$ functores, pero no sé si son estándar. De todos modos, voy a describir lo que es sólo una rúbrica para ingerir las fórmulas largas, nada más.

Consideremos primero la incrustación de Yoneda $Y$ que replantea un objeto $L$ en un $A_\infty$ -categoría $A$ como $A$ -o functor de $A^{op}$ a complejos en cadena. Así que $Y_L(M) = hom_A(M,L).$

Confieso que cuando me enfrento a estas fórmulas/conceptos, siempre pienso en términos de la categoría Fukaya, que es muy susceptible a las imágenes y para la que el $A_\infty$ estructuras son geométricas.

Así que dibujo una curva en un papel y la etiqueto $L$ . (La curva es literalmente un submanifold lagrangiano de mi ${\mathbb R}^2$ pedazo de papel). Cuando quiero pensar en $L$ en términos de su imagen de Yoneda, dibujo la MISMA curva, pero como una línea serpenteante.

Entonces, ¿cuáles son los datos que nos da la línea cuadriculada? Para cada objeto $M$ (una curva regular en mi papel), tenemos los puntos de intersección, que forman una espacio vectorial graduado $hom_A^*(M,L).$ Este espacio vectorial tiene la estructura de un complejo de cadenas (Floer), con diferencial dado por bígonos con forma de balón de fútbol con un lado regular y otro cuadriculado. Para un par de otros objetos, $M_1, M_2,$ obtenemos un mapa $$\mu^2: hom_A(M_2,L)\otimes hom_A(M_1,M_2) \rightarrow hom_A(M_1,L),$$ y así sucesivamente para toda la estructura de un módulo (sección 1j, p. 19).

Para la categoría Fukaya las ecuaciones 1.19 se derivan (para líneas no cuadradas) del estudio de las degeneraciones de familias de polígonos holomorfos de 1 parámetro. Ahora, si se garabatean esas mismas imágenes da 1.19 para un módulo arbitrario, y las ecuaciones son similares para no sólo para módulos, sino para un functor arbitrario entre dos $A_\infty$ -categorías.

¿Qué datos tenemos si tenemos dos Líneas garabateadas $L_1$ y $L_2$ ? Deberían intersecarse en un morfismo entre funtores (y debería tener un grado). Este morfismo de funtores da más datos, utilizando la perspectiva de Fukaya. Si añadimos una línea normal $M$ , tendríamos los espacios $Y_{L_1}(M)$ y $Y_{_2}(M)$ , y tienen un triángulo que es un mapa entre ellos. Los polígonos superiores y las relaciones entre ellos (considerando familias de un solo parámetro) deberían darnos todas las ecuaciones y darnos una pista para verificarlas. (¡Pero no prometo nada!)

Espero que esta larga y vaga descripción haya merecido la pena. (Oh, cielos, ¿esta era una pregunta del 11 de marzo? ¡Probablemente ya sea vieja!)

Answer 2

La referencia que conozco, que repasa los detalles algebraicos, es de V. Lyubashenko: http://arxiv.org/abs/math/0210047 .

La interpretación geométrica es muy interesante, pero creo que aún no se han escrito todos los detalles. En el $A_{\infty}$ -de álgebra, es decir, un $A_{\infty}$ -con un objeto, tenemos la siguiente interpretación: un $A_{\infty}$ -en un espacio vectorial graduado $A$ equivale a una coderivación $Q$ en la álgebra $T^c(A[1]):=\bigoplus_{n\geq 0} A[1]^{\otimes n}$ . En lenguaje geométrico, $T^c(A[1])$ se denomina esquema fino no conmutativo y la coderivación $Q$ es un campo vectorial homológico. Para ver este equivalente a un $A_{\infty}$ -Álgebra que acaba de ampliar $Q=Q_1+Q_2+\cdots$ y usar eso $Q^2=0$ . El functor de álgebras a conjuntos dado por $$ A\mapsto Hom_{Coalg}(A^*\otimes T^c(B),T^c(C)) $$ es representable por un esquema fino no conmutativo que claramente tiene una coderivación. El esquema fino no conmutativo correspondiente se denota por $Maps(B,C)$ y cada punto de $Map(B,C)$ corresponde a un $A_{\infty}$ -morfismo. Ahora hay que tomar algún tipo de terminación a lo largo del subesquema de estos puntos para obtener el $A_{\infty}$ -estructura de categorías. Esto es todo lo que entiendo de la interpretación geométrica de $A_{\infty}$ -categorías. Los detalles sobre las interpretaciones geométricas de $A_{\infty}$ -están en el libro de Kontsevich y Soibelman "Deformation Theory", pero tal descripción para $A_{\infty}$ -categorías no ha aparecido (que yo sepa), pero estaría muy bien tenerlo.