¿Cómo calcular el coeficiente de correlación a partir de supuestos mínimos de distribución?

Question

Dejemos que las variables aleatorias $X_1,X_2,\ldots,X_n$ satisfacer $$(X_i,X_j)\stackrel{d}{=}(X_1,X_2)\quad \forall i, j$$

(es decir, estas variables se distribuyen idénticamente y todas sus distribuciones marginales bivariadas también son iguales) y supongamos $$\sum_{i=1}^n X_i=0.$$

¿Cómo puede el coeficiente de correlación de $X_1, X_2$ ¿se calculará?

Answer 1

El coeficiente de correlación $\rho$ existirá siempre que el $X_i$ tienen una varianza finita no nula (lo que implica fácilmente $n \ge 2$ porque en caso $n=1,$ $X_1=0$ tiene varianza cero). Dado que $X_1$ y $X_2$ tienen la misma distribución sus varianzas también son iguales, por lo que

$$\rho = \frac{\operatorname{Cov}(X_1,X_2)}{\sqrt{\operatorname{Var}(X_1)}\sqrt{\operatorname{Var}(X_2)}} = \frac{\operatorname{Cov}(X_1,X_2)}{\operatorname{Var}(X_1)}.\tag{*}$$

Toma el único dato numérico que tienes, es decir, el $X_i$ y calcular una varianza, utilizando la suposición de distribuciones conjuntas idénticas para reemplazar todas las ocurrencias de $\operatorname{Var}(X_i)$ por $\operatorname{Var}(X_1)$ y $\operatorname{Cov}(X_i, X_j)$ por $\operatorname{Cov}(X_1, X_2):$

$$0 = \operatorname{Var}(0) = \operatorname{Var}(X_1 + \cdots + X_n) = n \operatorname{Var}(X_1) + n(n-1)\operatorname{Cov}(X_1,X_2).$$

Dividiendo ambos lados por $n\operatorname{Var}(X_1)$ y sustituyendo $(*)$ se obtiene la ecuación

$$0 = 1 + (n-1)\rho$$

cuya solución se encuentra fácilmente.