¿Cómo demostrar que dos variables aleatorias con distribución normal multivariante son independientes?

Question

Dejemos que $X\sim N(\mu_1,V_1),~~Y\sim N(\mu_2,V_2)$ . ¿Cómo puedo demostrar que $X$ y $Y$ son independientes?

Me pregunto cómo puedo mostrar esto.

Sólo conozco el siguiente caso: $Z=(Z_1,\ldots,Z_n)\sim N(\mu_3,V_3)$ : Entonces $Z_i$ son independientes si $\text{cov}(Z_i,Z_j)$ para todos $i\neq j$ .

Pero aquí la situación es diferente, porque $X$ y $Y$ están ambos distribuidos de forma normal multivariante. En efecto, no sé cómo demostrar la independencia en este caso. ¿Pueden ayudarme?

Answer 1

Si sabes que $(X,Y)$ son conjuntamente normal, es decir, el vector completo $[X',Y']'$ tiene una distribución normal, entonces todo lo que hay que hacer es comprobar la covarianza de $X,Y$ es decir, comprobar si

$$E(XY') - E(X) E(Y')=0.$$

Si sólo sabes que $X$ y $Y$ son normales multivariantes por separado, entonces hay que comprobar si la función de distribución conjunta es igual al producto de los marginales, pero no nos has dado la función de distribución conjunta de $X,Y$ .