Distancia de los puntos en $\mathbb R^3$ utilizando vectores

Question

¿Por qué es esto $\mathbf{w}-\mathbf{v}$ y no $\mathbf{v}+\mathbf{w}$ ? Comprendo $\mathbf{v}+\mathbf{w}$ significa $\mathbf{w}$ se coloca al final del vector $\mathbf{v}$ . Sin embargo, el libro no explica bien cómo $\mathbf{w}-\mathbf{v}$ funciona aquí. Puedo pensar en ello como $c^2 - a^2 = b^2$ que es esencialmente lo mismo que $\mathbf{w}-\mathbf{v}$ . Sin embargo, no puedo ver cómo funciona la propiedad vectorial aquí para $\mathbf{w}-\mathbf{v}$ o $\mathbf{w}+(-\mathbf{v})$ .

Answer 1

Hay dos formas de llegar desde $0$ a $Q$ :

1. primero viajar a $P$ a lo largo del vector $v$ y luego viajar desde $P$ a $Q$ a lo largo del vector $\vec{PQ}$ o
2. se desplazan a lo largo del vector $w$ .

Podemos escribir la primera forma como $v + \vec{PQ}$ , por lo que tenemos

$$v + \vec{PQ} = w,$$

y por lo tanto $\vec{PQ} = w - v$ .

Answer 2

$w-v = w+(-v)$

Tenga en cuenta que $-v$ es $v$ con la cabeza y la cola de la flecha intercambiadas. Luego, puedes sumarlas usando el método de la cola a la cabeza para obtener el vector $w-v$ .

Answer 3

En primer lugar, observe que $\vec{PQ} = \vec{PO}+\vec{OQ}$ .

Pasar de $P$ a $O$ tenemos que viajar hacia atrás a lo largo de ${\bf v}$ es decir $\vec{PO}=-{\bf v}$

Pasar de $O$ a $Q$ viajamos a lo largo de ${\bf w}$ es decir $\vec{OQ} = {\bf w}$ .

Claramente, $\vec{PQ} = -{\bf v}+{\bf w} = {\bf w}-{\bf v}$ .