Dejemos que $n$ sea uniforme y $x_1,x_2,,x_n$ sean reales. Demuestre que $$\sum_{1\le i<j\le n}\min(|i-j|,n-|i-j|)x_ix_j\\=\sum_{j=1}^{\frac n2}(x_j+x_{j+1}++x_{j+\frac n2-1})(x_{j+\frac n2}+x_{j+\frac n2+1}++x_{j+n-1}),$$ donde $x_{n+k}=x_k$ para $k=1,2,\cdots,n-1$ .
Esta identidad parece interesante, que viene de uno de mis estudiantes. Creo que es correcta, pero no puedo probarla.
Cuando $n=2$ , $$\text{LHS}=\sum_{1\le i<j\le 2}\min(|2-1|,2-|2-1|)x_{i}x_{j}=x_{1}x_{2},\\\text{RHS}=x_{1}x_{2}.$$ Cuando $n=4$ , $$\text{LHS}=x_{1}x_{2}+2x_{1}x_{3}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}+2x_{2}x_{4}+x_{3}x_{4},\\\text{RHS}=\sum_{j=1}^{2}(x_{j}+x_{j+1})(x_{j+2}+x_{j+3})=(x_{1}+x_{2})(x_{3}+x_{4})+(x_{2}+x_{3})(x_{4}+x_{1})=\text{LHS}.$$