Se distribuyen 3 bolas en 3 casillas al azar. El número de la manera en que ponemos como máximo 1 caja vacía es:

Question

Se distribuyen 3 bolas en 3 casillas al azar. El número de la manera en que ponemos como máximo 1 caja vacía es:

Mi enfoque:- dejar no de caja = $n$ & nº de bolas = $k$

y ambos son distintos.

Ahora se requiere el camino ,

caja cero vacía + 1 caja vacía

$\implies n_{\mathrm{P }_{k}} + S(k,n) * n!$

$\implies 3_{\mathrm{P }_{3}} + S(3,2)*2$

$\implies 3! + 6 = 12$

donde, $\mathbf{S}(\mathbf{k}, \mathbf{n}):-$ El número de Stirling del segundo tipo puede definirse como $\mathrm{S}(\mathrm{k}, \mathrm{n})=\frac{1}{n !} \sum_{i=0}^{n-1}(-1)^{i} n_{C_{i}}(n-i)^{k}$

$=\frac{1}{n !}\left[n_{C_{0}}(n-0)^{k}-n_{C_{1}}(n-1)^{k}+n_{C_{2}}(n-2)^{k}+\cdots+(-1)^{n-1} n_{C_{n-1}}(1)^{k}\right]$

Editar $1$ Creo que primero tengo que elegir la caja vacía haciendo $\binom{3}{1}$ ,entonces se convierte en 3 bolas en 2 cajas. Por lo tanto, puedo utilizar el proceso mencionado anteriormente (es decir $S(2,3)*3*2!$ . que me lleve a $24$ .)¡Pero aquí me surge una duda! Estoy considerando el caso de una caja que puede contener al menos 1 bola, pero también puede llegar a un máximo de 3 bolas, pero si tomo 3 bolas en una caja, otra caja también permanecerá vacía, por lo que se convierte en dos cajas vacías, lo que no es válido.

Pero la respuesta dada es $24$ . ¿En qué paso me equivoco?

Answer 1

Suponiendo que las bolas y las cajas sean distinguibles, deberías haber multiplicado ${3 \brace 2}$ por $3!$ en lugar de $2!$ en el caso de que una casilla quede vacía, donde ${n \brace k} = S(n, k)$ .

Veamos el caso en el que se deja exactamente una casilla vacía. Hay que colocar dos bolas en una caja y la otra en otra. Hay $\binom{3}{2}$ formas de elegir qué dos bolas se colocan juntas en una caja. Si las cajas son indistinguibles, colocamos estas dos bolas en una caja, y colocamos la otra bola en otra caja. Por lo tanto, si las cajas son indistintas, el número de formas en que podemos distribuir tres bolas distintas en tres cajas indistintas de forma que quede una caja vacía es $${3 \brace 2} = \binom{3}{2} = 3$$
Si las cajas son realmente distinguibles, importa qué caja recibe dos bolas, qué caja recibe una bola y qué caja no recibe ninguna bola. Hay $3!$ tales asignaciones. Por lo tanto, el número de formas de distribuir tres bolas distintas en tres casillas distintas de forma que quede exactamente una casilla vacía es $${3 \brace 2}3! = 18$$ Dado que hay $3!$ maneras de distribuir tres bolas distintas en tres cajas distintas para que ninguna caja quede vacía, el número de maneras de distribuir tres bolas distintas en tres cajas distintas para que como máximo una caja quede vacía es
$$3! + {3 \brace 2}3! = 24$$

Un enfoque alternativo

Supongamos que las cajas son distinguibles desde el principio.

Ninguna casilla queda vacía : Hay $3! = 6$ maneras de asignar cada una de las tres bolas distintas a una caja diferente.

Exactamente una caja queda vacía : Si exactamente una caja está vacía, hay tres maneras de decidir qué caja recibirá dos bolas y dos maneras de asignar una segunda caja para recibir la bola restante. Hay $\binom{3}{2}$ maneras de decidir qué dos bolas se colocan en la caja que recibirá dos bolas y una manera de colocar la bola restante en la caja que recibirá una bola. Por lo tanto, hay $$3 \cdot 2 \cdot \binom{3}{2} = 3!\binom{3}{2} = 18$$ formas de distribuir tres bolas distintas en tres cajas distintas de manera que quede exactamente una caja vacía.

Por lo tanto, sí que hay $$3! + 3!\binom{3}{2} = 6 + 18 = 24$$ formas de distribuir tres bolas distintas en tres casillas distintas de forma que como máximo quede una casilla vacía.

Answer 2

Creo que el problema es que deberías tener $S(2,3)$ no $S(3,3)$ - si uno de ellos está vacío, entonces se está partiendo $n=3$ bolas en $k=2$ conjuntos no vacíos (no ordenados). El factor de $3!$ es correcta, porque cualquier partición de este tipo puede ordenarse en las tres casillas de $3!$ formas.

[editar] La pregunta fue modificada desde que se escribió esta respuesta, y originalmente tenía ${}^3P_3+S(3,3)*3!=12$ .