Serie de Taylor de la suma de fracciones de la función común

Question

Cuál es el truco típico para encontrar la serie de taylor de una función común que está en el denominador cuando se añade una constante.

Ej:

$$f(x)=\frac{1}{e^x-c}$$

Sé que puedes escribir $f(x)=\frac{e^x}{e^{2x}-ce^x}$ y luego invocar

$$Taylor(\frac{f(x)}{g(x)})=\frac{Taylor{f(x)}}{Taylor(g(x))}$$

pero creo que podría haber una forma más fácil de evaluar $f(x)$

Se agradecerá cualquier sugerencia

Editar:

el origen de esta pregunta es hacer integrales como

$$\int_a^b (\frac{8\pi hc}{\lambda^5}\frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda kt}}-1})\,d\lambda$$

y límites para la misma función

$$\lim_{\lambda \to +\lambda_0}{\frac{8\pi hc}{\lambda^5}\frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda kt}}-1}}$$

Answer 1

Si el problema para ti es que la función está en el denominador, por qué no la tomas como el numerador, es decir, reescribes

$f(x) = \frac{1}{e^{x} - 2}$

como

$f(x) = (e^{x} - 2)^{-1}$

y proceder como

$f'(x) = -(e^{x} -2)^{-2}\cdot e^{x} \\ f''(x) = 2(e^{x} -2)^{-3}\cdot e^{2x} - (e^{x} -2)^{-2}\cdot e^{x} \\ f'''(x) = -6(e^{x}-2)^{-4}\cdot e^{3x} + 4(e^{x} -2)^{-3}\cdot e^{2x} + 2(e^{x} -2)^{-3}\cdot e^{2x} - (e^{x} -2)^{-2}\cdot e^{x} \\ \ldots$

donde deberías poder escribir las derivadas de forma más compacta