Cómo encontrar soluciones complejas para $z^6=-9$ ?

Question

Estoy empezando un curso de Análisis Complejo y nos piden que encontremos las soluciones complejas de $z^6=-9$ y no sé por dónde empezar.

Previamente he resuelto la ecuación $z^4=-16$ que era más sencillo porque podíamos tomar el $4^{\text{th}}$ raíz de $-16$ en el plano complejo, y no estoy seguro de cómo hacer esto para la pregunta en cuestión.

Answer 1

Hay una forma estándar de manejar este tipo de ecuaciones. Lo elaboraré para usted:

Supongamos que el problema : Encuentra todas las soluciones de la ecuación $z^n = w$ , donde $n \in \mathbb N^*$ y $w \in \mathbb C.$

Solución :

Dejemos que $ w=|w|e^{iφ} = |w|\cosφ + i|w|\sin φ, φ=\arg w$

Si $ z=|z|e^{iθ} = |z|\cosθ + i|z|\sin θ, θ=\arg z$

Entonces, $|z|^ne^{inθ}=|w|e^{iφ} \Leftrightarrow |z|^n(|z|\cosθ + i|z|\sin θ)=|w|(\cosφ + i\sin φ)$

Obviamente, $|z|^n=|w| \Leftrightarrow |z| = \sqrt[n]{|w|}$

Obtenemos :

$|w|e^{inθ} = |w|e^{iφ} \Leftrightarrow |w|(\cos nθ + i\sin nθ) = |w|(\cosφ + i\sin φ) \Rightarrow \{\cos nθ = \cos φ , \sin nθ = \sin φ \} \Rightarrow \{nθ = 2κπ + φ \} \Leftrightarrow \{ θ = \frac{2κπ +φ}{n} \}$

Finalmente, las soluciones son :

$ |z| = \sqrt[n]{|w|}[\cos (\frac{2κπ +φ}{n}) + i\sin (\frac{2κπ +φ}{n})] = \sqrt[n]{|w|}e^{\frac{2κπ +φ}{n}i} , κ \in \mathbb Z, κ=0,1,...,n-1$ o $κ=1,2,...n $

Por lo tanto, en su problema particular las soluciones son :

$z_κ = \sqrt[6]{-1}\sqrt[3]{3}e^{\frac{2π}{3}i}$ con $κ\in \mathbb Z, κ= 0,1,...,5$

Me he saltado la parte de los cálculos ya que he dado la respuesta teórica.

Answer 2

$-9=9e^{i\pi}$ . Así que $z=9^{\frac{1}{6}}e^{i\frac{1}{6}(\pi+2k\pi)}=9^{\frac{1}{6}}\Big[\cos\Big(\frac{(2k+1)\pi}{6}\Big)+i\sin\Big(\frac{(2k+1)\pi}{6}\Big)\Big]$