Cómo resolver esta ecuación $\exp(\frac{-tI}{RC}) = \cos(\omega tI)$

Question

¿Es posible resolver esta ecuación? Estoy interesado en expresar $tI$ en función de $R,$ $C,$ y $w.$ Esta es la ecuación :

$$\exp \left(\frac{-tI}{RC}\right) = \cos(\omega tI)$$ donde $tI$ está entre $3T/4$ y $T.$

Muchas gracias.

Answer 1

$$ \exp \left(\frac{-tI}{RC}\right) = \cos\left( \omega tI \right) $$ $$ 2 \exp \left(\frac{-tI}{RC}\right) = \exp\left( j\omega tI \right) + \exp\left( -j\omega tI \right) $$ $$\text{where } j= \sqrt{-1}.$$ \begin{align} & \exp\left( \frac{-tI}{RC} \right) = \exp\left( j\omega t \cdot\frac{-tI/(RC)}{j\omega t} \right) \\[8pt] = {} & \big(\exp(j\omega t)\big)^{-I/(RCj\omega)} \\[8pt] = {} & \big(\exp(j\omega t)\big)^{jI/(RC\omega)} \quad \text{since $1/j= -j$} \\[8pt] = {} & a^{jI/(RC\omega)} \quad \text{where this line defines what $a$ is.} \end{align} Así que tenemos $$ 2a^{jI/(RC\omega)} = a + \frac 1 a. $$ $$ 2a^{1+ jI/(RC\omega)} = a^2 + 1. $$ Para resolver esto para $a,$ Podría empezar probando el método de Newton.

Answer 2

Desea expresar tI en términos de R, C y $\omega$ : Sugiero lo siguiente

$$exp(\frac{-tI}{RC})= cos(\omega tI)$$

Diferencie ambos lados con respecto a ( tI ) ; Obtendrás :

$$-\frac{1}{RC}exp(\frac{-tI}{RC})= -\omega sin(\omega tI)$$

Ahora reemplaza $exp(\frac{-tI}{RC})$ de la ecuación anterior,

$$-\frac{1}{RC} cos(\omega tI)=-\omega sin(\omega tI)$$

$$tan(\omega tI)=\frac{1}{RC\omega}$$

$$tI=\frac{1}{\omega} tan^{-1}(\frac{1}{RC\omega}) $$

Espero que esto ayude....... :-)