¿Por qué se describe este functor como una familia de objetos?

Question

Imagen inferior de la teoría de las categorías de Mac Lane:

¿Por qué esta descripción de los objetos de la categoría $C^X$ ¿es válido?

Por definición de la categoría de funtores debería ser Objetos : Funtores $F,G,H, ... :X \rightarrow C $ y Flechas: $\tau, \tau' ...: F \rightarrow G$ como transformaciones naturales.

Donde los funtores $F=(\text{F}_{\text{ob}}, \text{F$ El sistema de la red de distribución es el mismo que el de la red de distribución de la red de distribución de la red de distribución. $})$ tienen $F_{ob} : x \rightarrow F(x) \in C$ y $F(1_x) = 1_{F(x)}$ (ya que las únicas flechas en $x$ son las flechas de identidad).

Así que parece que los objetos de $C^X$ son $\{F(x) \in C : x \in X, F \in \text{Funct}(X,C)\}$

Pero, ¿por qué la siguiente imagen describe los objetos de $C^X$ ¿una descripción válida?

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Answer 1

Un objeto de $C^X$ es efectivamente un functor $X\rightarrow C$ . Sin embargo, piense en lo que significa un functor de $X$ a $C$ es. Desde $X$ es la categoría discreta, un functor $F:X\rightarrow C$ está totalmente determinada por los objetos de $C$ envía los objetos de $F$ a: si $F_0, F_1$ son funtores de $X$ a $C$ tal que para todo $x\in Ob(X)$ tenemos $F_0(x)=F_1(x)$ Entonces, de hecho $F_0=F_1$ . (Tenga en cuenta que esto es extremadamente falso en general).

Así que un functor $F: X\rightarrow C$ es esencialmente la familia indexada $\{a_x: x\in X, a_x=F(x)\}$ : cada una de ellas determina por completo a la otra. (Esto puede volverse un poco más intuitivo cuando se recuerda que, en teoría de conjuntos, generalmente pensamos en una función como el conjunto correspondiente de pares ordenados - tal vez también añadimos explícitamente el codominio a estos datos, pero en nuestro caso el codominio del functor es siempre $C$ por lo que no es necesario). Además, cualquier familia indexada $\{a_x: x\in X\}$ corresponde a un functor $X\rightarrow C$ . Así que, de hecho, está perfectamente bien (aunque sea un poco abusivo en cuanto a la notación) decir que los objetos de $C^X$ son exactamente las familias indexadas $\{a_x: x\in X\}$ ya que cada conjunto indexado determina un único funtor y cada funtor corresponde a una única familia indexada.

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Tenga en cuenta que el indexación aquí es importante: el gama de $F$ no es suficiente para determinar $F$ necesitamos llevar la cuenta de que objeto de $X$ ir a un objeto determinado de $C$ .

Por lo tanto, hay que pensar en una familia indexada como una familia de pares ordenados .

Answer 2

Un conjunto $X$ puede convertirse en una categoría (discreta) tomando los elementos de $X$ para ser los objetos y tomando sólo identidades como morfismos.

Con esta identificación, los funtores $X \to \mathcal{C}$ se corresponden exactamente con $X$ -familias indexadas de objetos de $\mathcal{C}$ la acción sobre los morfismos está determinada por el hecho de que los únicos morfismos de $X$ son identidades.

Transformaciones naturales entre funtores $X \to \mathcal{C}$ entonces se corresponde con $X$ -familias de morfismos indexados: la condición de naturalidad se satisface de nuevo trivialmente ya que los únicos morfismos en $X$ son identidades.

Answer 3

Si $X$ es un conjunto, entonces un $X$ -familia de objetos de $C$ es por definición una función $a$ que asocia a cualquier elemento $x$ de $X$ un objeto $a_x$ de $C$ . Es no simplemente un conjunto de objetos de $C$ con la misma cardinalidad que $X$ .